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超实数公理化与外星人的数学教育

(2018-09-03 01:38:55)

超实数公理化与外星人的数学教育

假定我们需要给外星人上地球人微积分课程,但是,外星人根本不懂地球人的历史、文化。我们该怎么办呢?

最简单的办法就是采用公理化方法,然后再“构造”出一个满足该公理组的“抽象模型”即可。

至于“抽象模型”究竟是什么?无关重要。对此“模型”,外星人能够“理解”(使用它们自己的语言与思维)。

由此可见,数学公理系统越简单越好,不要复杂得把我们自己也搞糊涂了。在数学中,简单就是美。

注:什么叫“完备有序域”?无穷小微积分基础第一章有详细的交代。读者不用担心。

袁萌  陈启清  93

附:超实数公理组如下:

Axiom A  R is a complete ordered eld.

Axiom B  R* is an ordered eld extension of R.

Axiom C  R* has a positive innitesimal, that is, an element ε such that 0 < ε and ε < r for every positive r R.

In the next section we will introduce two powerful additional axioms which are needed for our treatment of the calculus. However, the algebraic facts about innitesimals which underlie the intuitive picture of the hyperreal line follow from Axioms A–C alone. We call R the eld of real numbers and R* the eld of hyperreal numbers.

 


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