公理系统的典范：几何基础

什么叫做“公理系统”？公理系统如何推出“数学定理”，建立数学理论？

我们说，无穷小微积分是公理化的数学分支，说的是，无穷小微积分是由一组“公理系统”逻辑推导出来的数学理论，而不是思辨玄学。

希尔伯特的《几何基础》把几何学引进了一个更抽象的公理化系统，把几何重新定义（注意这句话！），不但把传统的欧几里得的《几何原本》改良、完善，更把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象、普遍的数学理论。为什么这么说？

欧几得的《几何原本》为几何学奠下了基础，但随著数学不断的发展，数学家对《几何原本》再严谨审视下，便发现当中不完备之处，例如：在“点是没有部分的”中，什么叫“部分”？在“直线是它上面的点一样的平放着的线”中，什么叫“平放”？当然还有最受争议的第五公设（平行公设）。这些问题困扰着数学家多年，他们希望可将《几何原本》的定义、公设和公理加以改善，但因为几何学有坚实的基础，且有不少互相关联的分支，如：双曲几何、球面几何、射影几何等等，更使数学家不可只关心个别的公理或定义，而必须提供一整套关于概念和公理、定理的严密的系统，这是一件极为艰巨的工作。

希尔伯特把欧几里得几何化为下列的五组共二十条公理的体系（其中包含六个原始的不定义元素）：注意：点、线、平面都是“不定义”的概念，但是，必须满足公理系统。（奇怪吗？）

第一组  接合公理

共八条，说明三组几何对象点、直线和平面之间的一种接合的关系。

第二组 顺序公理

共四条，说明直线上的点的相互关系。

第三组 合同公理

共五条，主要为处理图形的移动而引进的。

第四组 连续公理

共两条，说明直线的连续关系。

第五组 平行公理

只有一条，说明两直线间的平行关系。

这五组的公理也满足了公理体系的三个基本要求，即相容性、独立性和完备性。如果把这五组的公理稍作增减，便得出其他不同的几何空间，例如把平行公理中的欧几里得平行公理换为罗巴切夫斯基平行公理，那便把「欧几里得空间」换为「罗巴切夫斯基空间」。另外，满足前四组公理的几何，我们称之为“绝对几何”（Absolute Geometry）。