希尔伯特核心思想的公开表露

    1920年，58岁高龄的德国数学家希尔伯特公开阐述了自己的想法（第一次！），为了整个数学的基础安全。他的核心思想有如下三点：（初看上去，有点匪夷所思也）

一、将所要讨论的古典数学理论T（有内容的）（如数论）公理化，把所得的公理化理论和所用的逻辑彻底地形式化,使得有内容的古典数学理论T（如数论）能表成一些形式符号和形式符号公式(注意：它们是没有内容的！)组成的系统（完全形式化的系统），记为TF，TF形式地摹写了T中的现实命题和理想命题以及其间的逻辑关系。这种形式符号系统TF称为T的形式理论（如形式数论），TF是作为一种独立结构而存在的，它使得表达现实命题和理论命题在方法上协调起来成为可能，并且使得所用的逻辑也可以得到一个“确切、科学的处理”。通过对形式理论TF的协调性的研究来建立原来的古典数学理论T的可靠性。

二、由于研究形式理论TF时需要用到逻辑和数论，故希尔伯特建议采用有穷方法来建立一个逻辑系统和初等数论，以便与经典逻辑和普通数论相区别，从而避免循环论证。这样建立起来的逻辑和数论，希尔伯特称之为元数学（我们称为“超越数学”，即希尔伯特的“证明论”）。将用Tm来讨论TF的协调性,Tm中的符号和公式是有内容的。对TF的讨论采用构造的方法，不得涉及实无穷。这一点希尔伯特与布劳威尔是一致的。

三、用元数学Tm来证明在形式理论TF中,不会有某个论断A与其否定塡A同时可以推出，也就是证明形式理论TF的协调性。如能证得TF的协调性就可以保证所代表的古典数学理论T不会产生矛盾。换言之,如果形式理论TF的协调性能够元数学地证明，则TF所摹写的古典数学理论及其理想命题都可以保留。

希尔伯特老爷子，想法天真，很有意思。

袁萌  2月13日