数学基础危机不是数学危机

    查阅科普中国与百度百科网站，两者几乎都把数学基础的危机混同于数学本身的“危机”，其实这是不对的。

             进入20世纪，数学悖论的发现，说明数学理论基础出了问题，而不是数学本身生病了。

为了避免“数学悖论”，数学家寻求采用形式化公理系统驱赶悖论，但是，1931年，德国“小矛头”哥德尔指出：任何形式公理系统（只要包含基本算术公理）都是不完全的。也就是说，在该系统内必然存在不可证明的真命题。

进一步，假定用上述形式公理系统当真可以驱赶悖论，得到一个完全（也叫完备）系统，“系统和谐、完美”，这就违反了“小矛头”的警告。因为，在系统中存在不可证明的真命题（定理），这个系统怎么可以叫做是“完备系统”？

哥德尔不完全定理揭露了数学基础（形式化公理系统）中存在的固有危机。这是用形式公理系统构造的数学基础中发生的危机（报应！），而不是日常生活中的数学本身发生了危机。

袁萌 1月31日