超实数及其标准部分

党的十八大之后，中国进入世界舞台的中心，无穷小放飞互联网正好发生在这一时期。

    回顾三百年前，莱布尼兹为人类创造了无穷小（虚构的数），造福全人类。

    直到上世纪60年代，美国学者A.Robinson利用数理逻辑模型论严格定义了无穷小（不再是虚构物），实现了莱布尼兹的梦想。

于是，人类拥有了一套新型数系 - 超实数（Hyperreals）。上世纪70年代，超实数传入我国。

超实数有什么新特点？与微积分的关系如何？2013年7月24日，老翁发表短文，题为“超实数及其标准部分”，让国人眼睛一亮。现重新发表如下：

袁萌   11月27日

附：超实数及其标准部分

关于超实数及其标准部分（standard part）的论述，在国内互联网上很是少见，这个话题涉及关无穷小微积分的核心问题。超实数的标准部分是什么呢？

7月23日，J. Keisler《基础微积分》的第1.5节与第1.6节（标准部分）上传完毕。至此，在我国互联网上有了超实数标准部分的论述，填补了这个“空白”。这个“空白”在哪里（什么网站）填补的并不重要，只要你搜索“第1.6节标准部分”即可找到它。在不久的将来，我们将发布一个“阅览室”（导航地图）引导读者查找相关资料。

目前，有两种微积分学在国内互联网上布阵对峙，一种是无穷小微积分，一种是基于（ε，δ）极限论的传统微积分。超实数取其标准部分的运算“st”就是（ε，δ）极限论的替代物。 在微积分中，极限“lim”运算没有了，取标准部分运算“st” 取而代之，简而言之，”lim“换成了”st“。实际上，“st”运算类似于初等数学的代数运算，用”st“代替”lim“，微积分学得以极大地简化，下放中学成为实际可能。

J.Keisler在”第1.6节标准部分“里面给出以下两个重要定义：

DEFINITION

Two hyperreal numbers b and c are said to be infinitely close to each other, in symbols

b ≈ c, if their difference b - c is infinitesimal. B ≠ c means that b is not infinitely close to c.

DEFINITION

Let b be a finite hyperreal number. The standard part of b, denoted by st(b), is the real number which is infinitely close to b. Infinite hyperreal numbers do not have standard parts.

我们要注意的是，所谓超实数b的标准部分st(b)是指：”the real number which is infinitely close to b“（即”无限接近于b的那个实数“），而不是超实数b自身的某个固有的部分。

有关取标准部分运算“st”，有如下定理”

THEOREM 3

Let a and b be finite hyperreal numbers. Then

（i）st(-a) = - st(a).

(ii)  st(a+b) = st(a)+st(b).

(iii) st(a-b) = st(a) -st(b).

(iv) st(ab) = st(a)·st(b).

(v) if st(b) ≠ 0, then st(a/b)=st(a)/st(b).

(vi) st(an)=(st(a))n.

(vii) if a ≥ 0, then st(____)=________.

(viii) if a ≤ b, then st(a) ≤ st(b).

证明在此省略。（全文完）

                  读后感言：多年过去之后，人们会想起今天。