关于无穷小（Infinitesimal)的严格定义

毫无疑问，莱布尼兹是无穷小（理想数）的发明者。如果莱布尼兹能够穿越时空来到现在，当他看到人们把以零为极限的函数叫做“无穷小”时，一定会笑掉大牙。莱布尼兹为什么会笑掉大牙？当年莱布尼兹发明的无穷小的现代数学(版本)定义如下：

1、THE EXTENSION PRINCIPLE（伸展原则）

(a) The real numbers form a subset of the hyperreal numbers, and the order relation x < y for the real numbers is a subset of the order relation for the hyperreal numbers.

(b) There is a hyperreal number that is greater than zero but less than every positive real number.

(c) For every real function f of one or more variables we are given a corresponding hyperreal function f* of the same number of variables.f* is called the natural extension of f （f的“自然延伸”）。

Part(a) of the Extension Principle says that the real line is a part of the hyperreal  line. To explain part (b) of the Extension Principle,we give a careful definition of an infinitesimal.

DEFINITION

A hyperreal number b is said to be:

positive infinitesimal if b is positive but less than every positive realnumber.

negativeinfinitesimal if b is negative but greater than every negativereal number.

Infinitesimal if b is either positive infinitesimal, negative infinitesimal. Or zero.

由以上所述，我们可以看出，伸展原则是无穷小微积分的核心原理（属于模型论范畴），而无穷小只有在超实数系*R里面才有严格定义，只不过无穷小相对于传统实数而言更为接近零点而已。如果两个超实数相差一个无穷小，则称两者“无限接近”。......      

由此可见，看到人们现在发明了超实数，莱布尼兹终于微笑了，因为，这就是莱布尼兹当年所梦寐以求的东西。我们要为莱布尼兹当莫的无穷小理论进行辩护，责无旁贷也。

无穷小是否存在？这是另一个问题。如果无穷小真的存在，那么，它一定就应当是这个样子！

在1948年，28岁的数学家Edwin Hewitt(1920-1999)发明了超实数（Hyperreals、超精密实数），至今已经有60多年了。但是，我们国内的大学生（包括某些老师）还不知道超实数是什么，那么，怎么做好”中国梦“呢？我们要做一个“超级梦”(Hyperdream)！

说明：应该认为，为无穷小扎根中国辩护不是无理取闹，故意搅局。

袁萌  11月24日