数学家为何引入超实数？

  在微积分中，最核心的基本问题是怎样定义极限概念，即

Lim f(x) = L   (x→a ∧ x≠a)

                                           我们引入增量记号：

Δx = x-a（x≠a)                Δy= y - L  

    传统极限论是说，给定任意小的正数ε> 0，如果存在正数δ>0，以下不等式成立：

Δx | ＜δ ⇒  |Δy |＜ε

也就是说，命题成立：

 ∀ε∃δ∀x{|Δy|＜ε| |Δx |＜δ}

   这意味着，函数极限的定义变成了不等式的证明过程，而不等式证明是很复杂的事情。

如果引入超实数系*R，符号“≈”代表无限接近关系，则

If Δx≈0  ⇒ Δy≈0                                                                   then

Lim f(x) = L   ( x→a ∧ x≠a)

   这种表达方式等价于传统极限定义（可以严格证明）。当Δx≈0，则 Δy≈0，就说函数y在a点的极限存在且等于常数L，非常符合人对极限的直观定义。因为超实数系统*R中，两个超实数之间可以存在无限接近关系，比如，Δx≈0，也就是说，x与常数a“无限地接近”，而在传统实数系中，这是做不到的。因为任何两个实数之间的差都是有限的，无论两者多么“接近”。。

  实际情况是，

  Δx = x-a（x≠a)         ∧Δy= y - L    

|Δx | ＜δ ⇒ |Δy |＜ε

也就是说，

 ∀ε∃δ∀x{|Δy|＜ε| |Δx |＜δ}

 多用了三个限定量词∀ε∃δ∀x，逻辑关系很复杂，不直观，新手不易掌握。

数学家为了彻底简化微积分，大胆地引进超实数，如同引进“无理数”√2一样。

说明： 量词“∀”代表All（任意、所有的意思），把字母A上下颠倒过来表示；量词“∃”代表Exist（存在的意思），把字母E左右反转过来表示。

袁萌   2月19日