关于国外微积分教改实验的反思

本文假定你是一位高校数学教师（具有大学数学专业本科学历），知道整个现代数学建立在一套公理系统之上。这套公理系统叫“ZFC公理”。

大家知道，在微积分教学中经常需要讲这样一句话：“当变量x无限趋近于一个常数a，…“

“无限趋于“是什么意思？面对学生，老师不能兜圈子，讲假话，拿出“x与a相差的绝对值小于任意小的正数”来搪塞学生。

实际上，在ZFC公理系统中，也就是说，在实数系统中，根本不存在可以任意小的数字。

上世纪60年代，A.Robinson在ZFC公理系统上利用数理逻辑模型论工具成功地引入超实数*R系统彻底解决了这一”老问题”。这在整个数学发展历史上是一项伟大的进展。

要是说，高校数学教师都是骗人的，这话有点不公道。但是，实际情况呢？…我就不说了。

2013年9月6日，老翁发表短文，题为“关于无穷小微积分的教学实验”，全文如下：

在1973年至1974年期间，在美国芝加哥地区高等学校进行了一次关于无穷小微积分的教学实验，以便评估无穷小方法的教学价值。实际效果如何呢？

       这次教学实验，以J.Keisler的《Elementary Calculus》讲稿作为教学参考书，进行方式如下：实验分为两组：一组是教员，一组是学生。实验结果如下：

      一、教师组的实验结果是：”The 11 teachers involved gave a very positive opinion of the experience“，意思是，运用新教学方法（即无穷小方法）的11名教员都给出”非常正面的评价“；

      二、学生组的实验结果是：”...those following the NSA course were better able to interpret the sense of the mathematical formalism of calculus”，意思是，“...那些学了无穷小微积分的学生能够更好地解释微积分正规内容的内涵（或含义）。

       由以上教学实验结果可以看出，在40年之前，在美国芝加哥地区进行的这次有关无穷小微积分的教学实验取得了相当好的教学效果。那么，在40年之后的今天，相关教学实验的效果也不会变得很差。

      有人也许会说，中国的国情不同于美国，无穷小微积分会”水土不服“，没有效果。这个问题只有通过具体的教学实验才能回答。我们能不能也在国内的某个地区进行类似的教学实验？这件事情需要说服当地政府的教育官员，这是一件很困难的事情。因为，我们的政府官员大多是当官的，对于无穷小（经济效益）是忽略不计的。

     幸好现在是互联网时代，信息传播成本很低，传播速度也很快。我们相信，在新学年里面，无穷小的概念就会”野火燎原“，在广大学生中间传播开来。由于无穷小的观念与传统微积分的概念相互冲突，导致学校的数学教员急忙出面”扑火救急“，忙得不可开交。......傻子看热闹，聪明人看门道。

     在互联网上，我们准备以讲数学故事的形式传授无穷小微积分的基本知识。实际上，微积分学是一种非常有趣味的”思维体操“，而不是思想教条。我们会结合”数理化，天地生“的基础知识来讲授无穷小微积分。比如，一个理想质点如何穿越坐标原点的实际情景，以此来讲解超实线的物理背景。孩子不论男女都有好奇心，他们会对无穷小的本质感到好奇。没有（ε，δ）教条（或说教），天就会塌下来吗？我看，未必。

袁萌  2月6日