8月6日，J. Keisler《基础微积分》第3.8节连续函数的性质（袖珍电子书）已经上传互联网，使国内读者开阔了眼界，知道无穷小微积分学的”不同风味“在连续函数研究领域的具体表现。

大家知道，在传统微积分学里面，有一个关于连续函数的”零点定理“，也叫做”介值定理“。这是一条微积分学的基本定理，非常重要，不可轻视。该定理的陈述如下：

INTERMEDIATE VALUE THEOREM

Suppose the real function f is continuous on the closed interval [a,b] and f(x) is positive at one endpoint and negative at the other endpoint. Then f has a zero in the interval (a,b) ; that is, f(c) = 0 for some real c in (a,b).

这个定理的结论看起来非常显然，似乎无需给出严格的”数学证明“。我们现代文明人不能局限于”直观性“（拍脑袋），把数学当成”魔术“、变戏法，看热闹。根据维基网站：”This theorem was first proved by Bernard Bolzano（波尔查诺） in 1817. Augustin-Louis Cauchy（哥西） provided a proof in 1821“，值得注意的是，哥西使用的证明思路就是无穷小方法。

      在我国普通高等教育”十一五“国家级规划教材同济大学《高等数学》的第71页，对此定理的严格证明加以省略，说”在此不予证明“。这是不能允许的，不证明该定理，却拿它当成”基本定理“再去证明别的”定理“，越搞越糊涂。难怪我们周边有不少”小糊涂“（大学毕业生），整天乐呵呵的，傻样子很可爱。

            其实证明并不困难，J. Keisler说：

        We assume f(a) ≤ 0 ≤ f(b). Let Hbe a positive infinite hyperinteger（超整数） and partition the interval [a,b]* into Hequal parts

                     a, a+δ, a+2δ,……，a+ Hδ = b.

Let a+Kδbe the last partition point at which f(a+Kδ)< 0. Thus

                              f(a+Kδ) < 0 ≤ f(a+(K+1)δ).

Since fis continuous, f(a+Kδ)is infinitely close to f(a+(K+1)δ). We conclude that f(a+ Kδ)≈ 0 (Figure3.8.7). We take cto be the standard part of a+ Kδ, so that

              f(c) = st (f (a + Kδ))= 0.

             J. Keisler的数学证明方法是典型的“无穷小证明”，其正确性不高于，也不低于传统微积分学所使用的方法，请见：菲氏《微积分学教程》。