在无穷小微积分学里面，有两条数理逻辑模型论公理（I*、II*），往往给初学者带来一头雾水，不知所云。其实，这是两条基本公理（或公设），非常之重要，不可含混过去。这是为什么呢？

   I*. EXTENSION AXIOM（扩展公理）

(a) The set R of real numbers is a subset of the set R* of hyperreal numbers.

(b) There is given a relation <* on R*, such that the order relation < on R is a subset of <*, <* is transitive (a <* b and b <*c implies a <* c), and <* satisfies the Trichotomy Law: for all a,b in R*, exactly one of a <* b, a = b, b <* a holds.

(c) There is a hyperreal number ε such that 0 <* ε and ε < * r for each positive real number r.

(d) For each real function f, there is given a hyperreal function f* with the same number of variables, called the natural extension of f.

Part (c) of the Extension Axiom states that there is at least one positive infinitesimal. Part (d) gives us the natural extension for each real function. The Transfer Axiom will say that this natural extension has the same properties as the original function.

   II*. TRANSFER AXIOM（转移公理）

     Every real statement that holds for all real numbers holds for all hyperreal numbers.

我们做如此设想：R代表已经公理化的传统微积分学，而R*代表即将引入的无穷小微积分学。这是两种不同的模型（Model，或数学结构）。在R中，没有无穷小，而在R*中，在新型的序关系<*之下，有一种“理想数”ε，满足条件：

                    0 <* ε and ε < * r for each positive real number r

      这是什么意思呢？这种关系，并不奇怪，只是对于新型的顺序关系“<*”而言的，也就是说，在这种顺序关系（<*）之下，0 <* ε 而且，ε < * r ，这里，r代表每一个正实数（而不能是每一个正的“超实数”）。在传统微积分学R里面看起来，这个“理想数”正好是数学家多年追求的那种“无穷小”（数）。于是，出现了两种不同的数学模型（R或R*，模型有时也叫“体系结构”），都叫“微积分”，反映了同一个物理真实世界，两者的真实性，既不高于，也不低于，彼此彼此，只是后者更为适合人的直觉思维习惯而已。J. Keisler撰写的《基础微积分》教程，给我们全面展现了这种奇异的”图景“，其实，无穷小微积分与传统微积分，在本质上，两者是“等价的”，只是理论叙述与定理证明的方式、方法不同而已。