今年3月16日，在“袖珍电子书：关于微积分学的公理化”一文中，我们首次接触到现代微积分学的公理化问题，当时有些话没有说透，今天再议。

          在袖珍电子书“基础微积分后记（Epilogue)”里面，J. Keisler教授说：“All the familiar facts about the real numbers can be proved using only these axioms”，意思是说，所有熟知的有关实数（包括传统微积分学）的事实（定理）都可以  从以下三组公理导出：

1. ALGEBRAIC AXIOMS FOR THE REAL NUMBERS

A Closure laws 0and1are real numbers. If a and b are real numbers, then so are a + b, ab and -a. If a is a real number and a≠0, then1/a is a real number.

B    Commutative laws     a+b = b+a  ab = ba

C    Associative laws      a+(b+c) = (a+b) + c a(bc) = (ab)c.

D   Identity laws       0+ a = a               1·a = a .

E    Inverse laws         a + (-a)=0 if a≠0, a(1/a)=1                                                     

F    Distributive law        a·(b + c) = ab + ac

DEFINITION

          The positive integersare the real numbers 1,2 = 1+1, 3 = 1+1+1 ,4=1+1+1+1 , and so on.

II. ORDER AXIOMS FOR REAL NUMBERS

A    0<1.

B    Transitive law  if a< b and b< c.

C    Trichotomy law Exactly one of the relations ab holds.

D    Sum law  If a< b , then a+c < b+c.

E    product law  If a < b and 0 < c, then ac < bc .

F    Root axiom   For every real number a > 0 and every positive integer n, there is a real number b > 0 such that b的n次方= a

Ⅲ. COMPLETENESS AXIOM

Let A be a set of real numbers such that whenever x and y are in A, any real number between x and y is in A. Then A is an interval.

        从上述三组公理（I、II、III）出发，我们可以建立起实数系R的数学大厦（即定理系统，其中包括微积分学的定理体系）。满足这套公理体系的数学模型都是“同构”的。实际上，函数、极限、导数、微分与积分等都是一些数学定义（概念）而已。有了这种眼光，看待微积分学的角度就不同了，微积分如同平面几何、高学代数。但是，无穷小不在这套体系之中（无穷小没有容身之地）。那么，我们该怎么办呢？且听下回分解。