7月28日，J. Keisler《基础微积分》的第2.1节导数、第2.2节微分与切线、第2.3节有理函数的导数、第2.4节反函数和第2.5节超越函数已经上传互联网完毕有感。

              在传统微积分学里面，有一个著名的公式：

（*）             Δy =AΔx + o（Δx)

在（*）式中，A是一个常数。“o（Δx)”这一项是什么意思呢？“十一五”国家级规划教材宣称：“o（Δx)”是所谓“高阶无穷小”（在Δx →0条件下）。也就是说，在Δx →0条件下，o（Δx)/Δx →0。此时，将表达式AΔx定义为函数y在x处的微分。

           我们问：（*）式成立与否是不是一定要以”Δx →0“为前提？当然不需要这一前提条件。但是，“十一五”国家级规划教材同济大学《高等数学》则不认为是这样的，在微分定义中，编者绑定了前提条件”Δx →0“，多年来，培育出不少小糊涂虫。

            在第2.2节微分与切线里面，J. Keisler给出函数微分定义如下：

DEFINITION

Suppose y depends on x, y=f(x).

         (i) The differential of x is the independent variable dx =Δx.

         (ii) The differential of y is the dependent variable dy given by

                        dy = f′(x)dx.

When dx≠ 0, the equation above may be rewritten as

             在《无穷小微积分基础》教学辅导电子书里面，J. Keisler给出了该定义与（*）式等价的证明。在超实数*R里面，函数的微分原来就是无穷小表达式f'(x)dx，两个无穷小dy与dx之比等于函数在该处的导数f'(x)。微分是什么函数增量的“线性主部”说教统统不要了。

         在超实数*R世界里面，我们的思维可以自由飞翔。在其背后有严格的数学链条牢牢地铆钉 在传统微积分本体之上。反对无穷小微积分就是挑战传统微积分，只有现代唐吉歌徳先生才会干这种傻事情。我们不断地转录、上传这些无穷小微积分的文字、图片资料，就是希望它们能够长时间地释放能量，把无穷小方法渗透进学生们的脑壳中，使其终生受益。无穷小是数数学家的一项伟大智慧发明，完善了微积分学的概念体系。