对于我们的直觉来说，无理数圆周率pi的深刻印象如下图所示；

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/PI.svg/440px-PI.svg.png

          一般而言，无理数的外观都是这个样子，也就是说，无理数不能是有限小数（ Terminating decimal）或者是循环小数(Repeating decimal)。无理数都拖着很长的尾巴，一眼看不到头。我们设想，把全部的有理数与无理数都安置在一条几何直线上，让它们各自占有自己的位置（座标点），构成所谓的“连续统”（Continuum，也叫“实线”或实数轴）。十九世纪70年代，集合论奠基人康托尔（Cantor）严密证明了一个事实：无理数的个数远比有理数的个数多，四处稠密的有理数陷入了无理数汪洋大海的包围之中。这是“连续统”的直观图景。

         1948年，美国Edwin Hewitt利用所谓“超幂”（Ultrapower）技术构建了一种富含无穷小的“连续统”，揭示出在无限不循环小数（即无理数）的长尾巴里面含有许许多多的”超实数“（Hyperreals）存在（需要发挥我们的想象力）。这些超实数团团围绕在某个实数的周围，彼此相距“无穷小”，也就是说，相互“无限地接近于”该实数。这种情景非常类似于上述无理数包围有理数的场景。

          这种超实数的“团粒结构”（又叫做”单子“结构，单子的英文名称是“Monad”）。容易证明，每个单子里面只有一个传统的实数，因为两个不同的实数之间的距离不可能是无穷小。在同一个“超实数单子里面的那个传统实数是该单子里面每个超实数的”标准部分“（Standard part），用符号表示为:

                                st(x) = r               (x ∈ Monad(r))

              有人猜想，超实数的个数（也叫集合三”基数“，Cardinality）一定比传统实数的个数要大许多。实际不然，超实数与实数的”个数“一样多，也就是说，与实数连续统里面的元素个数一样多。实际上，几何直线的承载能力很强，嵌入实数或超实数，对于几何直线而言，根本无所谓。不知数学家的脑袋里面是怎么想的，显得怪怪的。

          对于数学而言，数系的扩充是一场革命。从物理测量来说，有理数就够用了。但是，对于构建适用数学理论而言，需要扩大数系，特别是，对于微积分学来说，我们经常需要与”无限地接近“这种数量现象打交道，采用富含无穷小的”连续统“较为方便（合适）。从本质上来说，无理数与超实数都是通过一种”无限过程“构建出来的”虚构物”，都是”理想数“，其真实程度完全一样，是同一个等级，我们没有必要“厚此薄彼”。我们的出发点是这样的：中国人多，学生多，设法降低微积分学的教学难度，减少微积分学的教学时数，是有实际意义的。说句实在话，要是不为这些孩子们着想，也就不需要如此大动干戈了。