无穷小（Infinitesimal)的本质是什么？无穷小能否反映物理实际？有何根据？
昨日，阅读“Infinitesimal：from Leibniz to
Robinson”（By Lindat Keegan,April
16,2010）有感。我们设想一种情景：Leibniz与Robinson两人在高尔夫球场散步、交流、沟通。
Leibniz
believed that the infinitesimals in his calculus could be
considered to be “well founded fictions.” That is, they could be
used to arrive at the correct answer, but would disappear once
they
were no longer needed”，意思是说，莱布尼兹认为自己的无穷小是一种“十分有根据的虚构物”（“well
founded fictions），也就是说，无穷小可以用于（科学推理）而获得正确的答案。Robinson虽然同意Leibniz 关于无穷小是“fictions of the mind”的说法，但是，他不同意莱布尼兹的无穷小是“十分有根据的”。
到了上世纪，Robinson借助数理逻辑模型论（Model
Theory）为无穷小奠定了严密的数学基础，创立了名副其实的“无穷小微积分学”，使无穷小微积分获得许多科技应用（包括经济学应用）。无穷小微积分的核心问题是：Constructing a number system that includes
infinitesimals. These are numbers smaller than any real number yet
still greater than zero.“也就是说，无穷小微积分的核心问题是：创建超实线，即含有无穷小的连续统。
回顾历史，1948年，年仅28岁的Edwin
Hewitt借助”超幂“结构（Ultrapower）构建了”超实数系“（Hyperreals），填补了莱布尼兹的”遗憾“。1955年，35岁的波兰数学家Jerzy
Los为超实数结构创建了所谓”转移定理“（Transfer Theorem）。1960年，42岁的Robinson首次集成前人的研究成果，创建了现代意义的无穷小分析。在高尔夫球场上，莱布尼兹对罗宾逊说，你们这些”后生“确实很厉害，搞出了数理逻辑模型论，我们这一辈人不懂。
实际上，现代无穷小的理论很深，不是一般人所能理解的。1976年，J. Keisler把罗宾逊的非标准分析写成了大学微积分教科书，意义非同寻常。到了本世纪，共有20多位世界知名的无穷小作家，莱布尼兹后继有人也。1984年，美国Victor
Harnik撰写了一部专著，名为“Infinitesimal from Leibniz
to Robinson，Time to bring them back to
school”，值得一读。现在是时候了，把无穷小带回中学数学教学中去。我们这一辈人需要做的事情很多，很多，......
袁
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