给定实数数列：

           r = (r1,r2,...,rn,...);

           s = (s1,s2,...,sn,...);

以及

            t = (t1,t2,...,tn,...)

 假定r与s的协同集合（Agreement set）

                            {n∈N│ rn=sn }

用更为简洁的方式[r=s]来表示。那么，

                        r≅s  iff  [r=s]∈ U(U为自然数集N上的超滤器)

其中，r≅s表示“r等价于s”，符号”iff”表示“当且仅当”的意思。

容易看出：

            [rn < sn}

            [r>s] ={n∈N│rn> > sn}

           [r≤s] ={n∈N│rn ≤sn}

        由此可见，r，s与t分别所在的等价类就是超实数了。实数是超实数的子集（哥西序列等价类“很粗”，我在上世纪70年代首先指出了这一点。）。超实数系记为*R。在*R里面，我们说b”无限接近于”c，记为“b ≈ c”。我们给出如下定义：

                              hal(b) = {c∈*R │c≈b}

其中符号“Hal（b)”表示超实数b所在的”晕斑“(Halo)，“晕斑”是一种由超实数聚集成的”团状物“,A. Robinson称其为”单子“（Monad），过于抽象。歌德布拉特将其称为”晕斑“（Halo），比较切合实际。

        在超实数系*R里面，不等式”0 < ε < a“（a为任意正实数）的正确意义是：协同集【0<ε]与[ε均为N的超滤器U的元素。我们心中要明白，只是嘴巴上不说出来罢了。

          函数的斜率就是在”晕斑“中定义的，由此，导数与微分也就出来了。事情变得很简单。进入本世纪，带”晕班“的连续统（数轴）应用到物理学、宏观经济学与概率统计，出现了一股新鲜空气。超滤器是一种”集合的集合“，其主要特征是，对集合的“交”运算封闭。上世纪英国数理逻辑学者罗素说过：数学研究的是集合以及集合的集合，除此之外，就不研究什么了。此话也有些道理，不全是胡说。看了歌德布拉特的”超实讲义“，你就会知道：在”超实讲义“里面，全是一阶集合论的符号语言，全书没有一张示意图表，但是，读起来特别有味道，没有丝毫含混不清的地方。世界上，有人说非标准分析的坏话，但是，却没有人说它是不对的。在我们国内，对于非标准分析，都闭嘴不说话，装聋作哑，很是奇怪。搞公理化集合论就必须接受非标准分析。这是无法回避的事实。我要认真研究”黄皮书“（“超实讲义”），虚心学习自己不懂的东西，到死为止。