什么叫“软知识”？软知识是相当于”硬道理“而言的，是硬道理的反面。有人学了微积分，心里面”没有底“，觉得”不踏实“，头脑里面对微积分有点儿软绵绵的感觉，似乎微积分不是”硬道理“，有点儿似是而非的味道。由此，微积分的“道理”（定理）学过以后很快就忘记了，俗话说，还给老师了。

          现在，假定我们已经知道了一些无穷小微积分的知识。我们设法把微积分学搞成物理学那样的”硬道理“。为此，我们设想在一条（实数）直线上，任意截取两点构成一条线段（又叫”区间“），该线段中所有的点均在该直线上。这是一种很重要的”物理现象“，我们可以体会感知出来。进一步设想，将此直线截去一半，使其成为实数集合T：（-∞，b]或(-∞，b)，注意，右边的那一半不要（暂不考虑）了。我们在这个实数集合T中，任意截取线段，该线段上的点也必然在集合T中。这种做法，反过来做对不对呢？也胡是说，在某一实数集合T中，如果任意截取线段，线段上的所有点均在此集合T中，那么，集合T必是一个实数区间（也可能是无限区间）。这种性质就叫做实数系的”完备性“（Completeness）。

          由实数系的完备性可以导出一条”定理“（硬道理）：单调有界序列必有极限。这是微积分学中最最基本的一条定理啊！同济大学《高等数学》教材第一章第6节（52页）将其称为”收敛准则“，而不予证明。这一下就”高等数学“软下来了，不硬气。

           我们利用实数系的完备性给出该定理的一个严格证明，使其成为具有物理属性的“硬道理”。假定实数集合T = {x┃x < 序列中的某一项}，由于序列的单调性，再考虑到实数系的完备性，我们不难看出：

                                          T =（-∞，b]，或者 T = (-∞，b)

对于每一个实数x< b，只要序列序号足够大，成立以下不等式

                                                        x < 序列的通项 < b

由于x是任意的小于b的实数，那么，该序列的通项只能无限接近于b，即以实数b为其极限。注：证明里面有些拐弯的地方，需要仔细想想才行。

           如果微积分体系全部实现”公理化“，从几条”硬道理“出发，推导出所有的”定理“，随后，再仿照”例题“做题目。这样学下来，微积分就不软了。我认为，教授微积分就应该像教授欧几里德平面几何一样，老师一板一眼的教，学生一字一句的学。没有笨学生，只有笨老师。

          记得，我在南京大学学习期间（1957-1962），读过一本苏联学者拉舍夫斯基写的书，题目是”作为物理学的几何学“，很入我的”脑子“。现在，我在想，为什么微积分不能作为物理学来讲授呢？实数系就是物理连续统，那么，超实数系是不是物理连续统呢？对此，有人出来反对。我不怕。我认为，有道理大家讲嘛！道理是越辩论越明白，躲在背后乱嘀咕没有什么用处。