回顾300多年前，大约在1670年前后），在数学上也可以称为“牛顿与莱布尼兹”时代”，那时在欧洲大陆关于无穷小的学术研究非常之活跃，可谓“几家争鸣”（当时，还不到“百家争鸣“的程度）。请看下图：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/400px-Tangent_to_a_curve.svg.png

         在那个时代，寻求一般曲线的切线(Tagent，即上图的红色直线）是一个很令人感到困惑的问题，因为，这要涉及无穷小的演算。牛顿把一般曲线的切线斜率视为“逝去量的最终比”（the ultimate ratio of evanescent quantities），尽量回避直接使用无穷小。可是，究竟什么叫“逝去量的最终比”？连牛顿自己也没有说清楚。但是，莱布尼兹却不同，坚持使用无穷小，并且坚信：这种逝去的量（无穷小）仍然具有在其最后消失之前的（数学）属性（"...an evanescent quantity which yet retains the character of that which is disappearing"）。历史已经证明，莱布尼兹的这种观念是正确的。

        200多年之后，在1870年左右，德国数学家维尔斯特拉斯（Weierstrass）用极限的（ε，δ）定义将无穷小彻底赶出微积分的研究领域，使其成为“死去的隐喻”（Dead metaphor）。由于极限论的（ε，δ）定义方式过多使用了一阶逻辑的限量词（比如：∀∃∀的表述方式），丧失了微积分表述的直观性，遭到（美国）数学教育界的批评。

          时间又过去了一百年，在1960年A.Robinson利用现代数理逻辑的模型论（Model theory)的技术手段，复活了莱布尼兹关于无穷小的正确观念，使无穷小演算成为逻辑严谨的数学大厦的合格成员，而且使无穷小方法渗透到许多别的数学研究领域，比如，测渡论与数量经济学等学科。300多年来，数学发展史似乎与我们开了一个大玩笑。

           J. Keisler的“初等微积分”（Elementary Calculus，1976年第一次出版）是基于现代无穷小观念的一本教科书。现在，时间又过去了近40年，人们才逐渐认识到它 的重要性。现今，尽管有人还在批评无穷小演算的“毛病”，但是却没有人能够指出它的逻辑严谨性存在“瑕疵”。现在，我们终于可以说无穷小演算在数学中已经站住了“脚根”，但是，我们该怎么办呢？在数学的历史发展长河中，我们是顺水向前，还是逆流挣扎？......今天下午，我将与几位朋友谈及此事（有关我国数学教育的现状及存在问题）。