大家应该明白，集合是公理化集合论的基本概念，可以不予明确“定义”，只要它们都满足公理的要求即可。比如：

                                                              集合A = {x┃P(x)}

其中大写字母P代表某个特定的“谓词”，中间的竖线“┃”表示使得后面的命题P（x）为真命题。由此，上述逻辑表达式意思是：集合A表示由那些能够使命题P（x）为真的所有元素x组成的“集合”。这就是朴素集合论（Naive Set Theory）关于集合的一般说法，很直观，也很容易理解。我们问：谓词P真有这么大的能耐吗？

         大约在1900年，英国大数理逻辑学家罗素提出了一个逻辑”悖论：我们设想，把所有集合分为两大类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素。假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是我们可断定：P={A∣A∈A}，而Q={A∣A∉A}。我们要问：Q∈P 还是 Q∈Q？ 若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q。所以Q￠Q，由此引出了矛盾。反之，若Q∈Q，根据第一类集合的定 义，必有Q∈P，而显然P∩Q=∅（空集），所以，Q∉Q，还是导致矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，这里就不去说了。

           集合的”悖论“是怎么搞出来的？集合论里面怎么会有如此怪诞的“悖论”？原因究竟出在哪里？十几年之后，人们发现，第二类所谓的“集合”（Q不以其自身为自己的元素）确实太宽泛了，简直太庞大了，可能不构成一个常见的“集合”（体形适当），把它改名叫做“集类”（简称“类”Classes）就不会导致矛盾了。也就是说，集合必定是类，反之未必。从此以后，公理化集合论大兴其道。由此可见，布尔巴基学派把数学建立在公理化集合论之上，是无可挑剔的。

          实际上，“类“可能不是集合，但是，集合必定是“类”。应该说，发现这个道理，使我们的认识提高一步，是集合论里面发现“悖论”的一大功劳。是不是朴素集合论就不要了呢？不是的。朴素集合论的实际应用仍然相当广泛，一个”悖论“怕什么？但是，一个类与集合的交集可能不是普通的”子集“合，而是所谓”半集“（Semiset），1972捷克数学家Vopenka由此发展出所谓的”另一种集合论“（Alternative Set Theory)，由此也可以创立非标准微积分。

          比如，在一个十分庞大宾馆的前台，服务员对任何前来的宾客都可以立即”受理入住“，而不必担心宾馆暂时没有空房间，因为，就在客人办理入住手续时，极有可能有的客人退房，离开宾馆赶往机场。实际上，宾馆住房总是有限的，但是，接待新房客又像是无限的。这就是”无限存在于有限之中“的奇妙现象的。......公理化集合论的帷幕才刚刚拉开，好戏还在后头。