我们常常说“以不变应万变”，意思是指事物时常变化我们办事要注意观察其变化，
处变不惊。一旦掌握了其变化规律，便可以用统一的方法来分析问题，解决问题。
    在奥数专题里没有这一讲，只偶尔在解题分析中看到过“差不变原则”的分析方法。
寒假给学生上课，讲计算，一并拓展了一下，加入了“和不变”、“积不变”和“商不
变”。这里简单给大家介绍一下这几个原则。
 一、和不变原则
    和不变原则指的是两个数相加，如果一个增大，一个减小，且增大和减小的是同样
的数，那么相加后的总和不变。
    可能貌一听起来觉得好像没有什么用，但在具体做题的时候，还是很有用的。
    请看这样两道题：      ①  98+165      ② 107+239  
分析：    低年级同学应该也能很快将两个正确答案给出来，其实掌握了方法，口算是
          非常快的。
      ①  98+165，要想和不变，又想算得快，那么一个+2，一个-2，所以原来的算式
          就变成了100+163=263；
      ②  107+239，要想和不变，那么一个减小7，一个增大7，所以原式变为：
          100+246=346； 
 二、差不变原则
    差不变原则自然就是说两个数相减，要想差不变，则被减数增大，减数也相应地增
大，被减数减小，减数也跟着减小。这就好比我们平时讲年龄问题时所讲的年龄差不变，
爸爸长大，宝宝也跟着长大，之间的差一直不变。下面看两个简单的例子：
      ① 205-97         ② 376-108
分析：平时孩子做①这一类题时，如果列算式，因为要连续借位，经常容易犯错，在奥
数学习中，我们在速算与巧算中经常讲用“凑整”法来做这些题，比较简单。掌握了差
不变原则的意思，这样的题直接口算就可写出答案。
    ① 205-97，要想差不变，那么把两个同时增大3，就变成了208-100，差不变，答案
很快就出来了；
    ② 同样，可以很快得到：376-108 = 368-100 = 268；
 三、积不变原则
    所谓积不变原则，是指两个数相乘，一个放大几倍，另一个缩小几倍，则积不变。
举例说明如下：
    ① 15×6      ② 16×5
    这样两个简单的式子，在6年级同学中依然会经常犯错。虽然答案都是80和90，但常
常写反。
    那么用积不变原则如何去想这样两个式子？
    我们平时算术中肯定都比较喜欢出现5这样的数，因为5×2末尾就成了0，在这里就
充分利用一下5的这个特性。
    ① 将15扩大2倍，将6缩小2倍，则15×6=30×3=90；
    ② 将5扩大2倍，将16缩小2倍，则16×5=8×10=80；
 四、商不变原则
    商不变原则，指两个数相除，被除数扩大或缩小几倍，除数也跟着扩大或缩小几倍，
商永远不变。这个对于高年级，学习过约分的方法后，非常好理解。
    例如：① 400÷25      ② 120÷8
分析：① 被除数与除数同时扩大4倍，则原式=1600÷100=16；② 被除数与除数同时缩
小2倍，变为60÷4，再同时缩小2倍，变为30÷2=15。
    五、不变原则的应用
    以上为四则运算的不变原则，理解起来比较简单，在解计算题的时候能帮助我们节
省大量的时间，同时也能提高计算的准确率。下面我们来看看，在一些非计算题中这几
个原则的应用。
例题：如图，等腰直角三角形ABC的腰为10，以A为圆心，画一个八分之一圆，得到图中
两个阴影部分的面积相等。求扇形所在的圆的面积。
    分析：本题要求扇形所在圆的面积，只要知道扇形的面积，然后×8即可，那么目标自
然锁定在求扇形面积上。
    但要想求出扇形的面积，根据公式，必须知道扇形的半径，而此处并不知道半径
为多少。
    题目中给了我们一个条件，两个阴影部分的面积相等，貌似无关，细想下，却是
解题的关键。
    扇形可以分为两部分，一白一黄，那么因为图中，两块黄色的面积相等，则运用
“和不变原则”，将扇形右下角减小阴影那么多，将扇形左下角增大阴影那么多，即
可求得扇形面积就等于等腰直角三角形的面积，为10×10÷2=50。
   
    此题若稍作修改，变为以下：
如图，等腰直角三角形ABC的腰为10，以A为圆心，画一个八分之一圆，得到图中
两个阴影部分的面积相差5。求扇形所在的圆的面积？

    分析：改变后的题与刚才思路一样，只是这一次用的是差不变原则。
      S2-S1=5，那么给S2和S1同时增大相同的数以后，差值应该依然为15，
      而图中S1+S3=10×10÷2=50，则S2+S3=55。
      所以扇形所在圆的面积为55×8=110×4=440。得解。

补充例题：已知图中长方形中三块面积分别为11、16、5，求图中阴影部分面积。
               
分析：此题看似无从下手，三个已知面积完全无关，相信把我们通常讲的割补法、
旋转法掌握的非常好的同学，也不能通过以上方法顺利解决。
    图中三块面积毫不相关，但纵观全图，很容易发现，有很多底为长方形的长
或者宽的三角形，那么这些三角形的面积均是长方形的面积的一半。掌握了这一
点，本题就迎刃而解了。
               
    如上图，将图中两块面积标记为S1、S2，可得，S1+S2与图中三块已知面积的
和为长方形的一半，S1+S2与阴影部分的和也为长方形的一半。在这两个总和里面
同时去掉S1+S2，得到的两块自然相等。可得，阴影部分面积即为11+16+5=32。

    不变原则在速算巧算、等量代换、直线型面积等等专题中均有应用。