通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。
定义：
  对区间I的曲线http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht1.gif作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。

曲线凹向的判定定理
  定理一：设函数http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht1.gif在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是：
           导数http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht2.gif在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
  定理二：设函数http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht1.gif在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：
           若在(a,b)内，http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht3.gif＞0，则http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht1.gif在[a,b]对应的曲线是下凹的；
           若在(a,b)内，http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht3.gif＜0，则http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht1.gif在[a,b]对应的曲线是上凹的；

  例题：判断函数http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht4.gif的凹向
   解答：我们根据定理二来判定。
       因为，所以在函数http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht4.gif的定义域(0,+∞)内，http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht6.gif＜0，
       故函数所对应的曲线时下凹的。

拐点的定义
  连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。

拐定的判定方法
  如果http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht1.gif在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht1.gif的拐点。
      (1)：求http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht3.gif；
      (2)：令http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht3.gif=0，解出此方程在区间(a,b)内实根；
      (3)：对于(2)中解出的每一个实根x₀，检查http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht3.gif在x₀左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点。

  例题：求曲线http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht7.gif的拐点。
   解答：由http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht8.gif，
        令http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht6.gif=0，得x=0，2/3
        判断http://www.aihuau.com/lzzgs/gs3/3.6.ht6.gif在0，2/3左、右两侧邻近的符号，可知此两点皆是曲线的拐点。