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明确模型内涵  聚焦核心素养

——小学数学“核心素养——模型”内涵解读

北京路二小  周敏

模型思想是《课程标准（2011年版）》新增的核心概念，但对于一线教师来说，它并非崭新而陌生。恰恰相反，长久以来它一直不声不响的在我们的日常教学中发挥着巨大的作用。当下，如果能够更加明确地理解和把握模型思想的含义和要求，将有助于我们进一步理清教学目标的本末，从而调整教学思路，更加有效地促进学生数学核心素养的形成。

数学模型

一、     数学模型的定义

“模型”是指对于某个实际问题或客观事物、规律进行抽象后的一种形式化表达方式。

“数学模型”则是用数学语言描述现实世界事物地特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。比如数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表……都可以看做是数学模型。

二、     数学模型的特点

在小学阶段，数学模型有以下两个主要特点：
     其一，它是经过抽象、舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构。
比方说，我们经常会提问“这道题实际上就是要求什么”引导学从具体的问题中提炼出数学关系，如：“兰兰、丽丽一起踢毽子，兰兰踢了6个。丽丽踢的个数是兰兰的3倍，丽丽踢了多少个？”就是求一个数的几倍是多少；图（一）中的问题实际上是求长方体的棱长总和……http://s10/mw690/001qVY3Jgy71JsXBkWB49&690 聚焦核心素养——小学数学“核心素养——模型”内涵解读" TITLE="明确模型内涵  聚焦核心素养——小学数学“核心素养——模型”内涵解读" />

其二，它一般能借助数学符号来表示，并能进行数学推演。
比方说，很多题目通过一段文字叙述出来时，看上去非常繁杂、无从下手。但当我们将大段的文字转化为数学表达式之后，就显得简单明晰得多，并且更便于在数学表达式的基础上进行数学的推演。如：

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三、     数学模型的分类：

数学模型根据不同的标准有很多分法，在小学学段出现的数学模型一般可以分为三类，即概念型、方法型、结构型（顾泠元语）。
    概念型数学模型
    以“认识方程”为例，通常，我们会借助天平为抽象的方程找到直观的生活原型，帮助学生在天平平衡的已有经验中去体悟等式的含义，当我们用字母代替未知的量，从而抽象出一个等式时，就得到了方程，方程其实就是一种概念型数学模型。在小学，许多数学概念本身就是一种模型。例如“小数是从‘元、角、分’、‘米、分米、厘米、毫米’的具体情境中抽象出来的模型。分数是从‘多个人分一个大饼’的实例中抽象出模型。”（张奠宙语）它们都是基于现实的生活情境作出适度抽象后的产物。
    方法型数学模型
    以“商不变的性质”为例，通过引导学生观察一组算式，得出“被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”，然后再应用这一规律简化除法口算和笔算，计算小数除法。这里“商不变的性质”就可以看做是一个方法型的数学模型。这一类的模型还有很多，比如“分数的基本性质”，提炼出这一模型之后，我们可以用它去进行约分、通分、实现异分母分数加减法等相关的数学推演。再比如加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律，以及减法和除法的一些运算性质……都可以看成方法型的数学模型。
    结构型数学模型
    例如小学阶段两个典型的数量关系“路程＝速度×时间”、“总价＝单价×数量”，这一类的模型反映了数量之间的关系和结构。

其实在现行人教版小学数学教材中，还有一类模型极为突出，我们可以称之为程序型模型：

例如，人教版教科书中在第一学段每次出现“解决问题”时，都引导学生，首先观察“图里有什么？”然后思考“怎样解答？”最后还要检查“解答正确吗？”这就是在强调解决问题的程序。程序模型可以是一组有序求解问题的公式，也可以是一个问题的处理流程(框图或步骤)，它可以看做是特殊的数学模型。

再如，在二年级上学期学习“数据收集和整理”时，学生需要围绕“选哪种颜色的校服”这一问题来体验怎样通过数据的收集和整理来解决问题。首先需要讨论：怎样决定“选哪种颜色的校服？”得先经过“调查”。怎么进行调查呢？先要确定“向谁调查（对象）”，然后选择“怎样调查（方式）”；接下来通过合适的形式“记录或呈现调查结果”；在此基础上对收集得到的数据进行分析、作出判断。一次调查活动并不是这一教学内容的目的所在。通过课堂上的调查活动，感受到原来有些问题需要通过数据的收集和整理来解决，并且通过课堂上的调查活动，让学生真实地获得体验，了解具体应该怎样去做，得到解决这类问题的程序模型，才是教学真正的目标所在。

通过刚才地阐述，我们可以看出，“数学模型”是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，从数学的角度来刻画、分析和解决问题。

前面我们已经了解了“数学模型”的定义和分类，那么什么是“数学建模”呢？“模型”和“建模”之间有什么关系呢？

数学建模

一、数学建模的定义：

把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，并用这个解答来解释现实问题，这一过程就是数学建模。

      二、数学建模的步骤：

数学建模的步骤可用如图（二）的流程图来体现。

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 根据《课程标准解读》的说明，在小学阶段也可以视具体课程内容，将建模的过程简化为三个环节：首先“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”，强调发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立起相应的数量关系和变化规律”。这是建模过程中最重要的一步，在这个环节中学生要通过观察、分析、抽象、概括……一系列的数学活动，完成模式抽象，得到模型。最后，通过模型求出结果，发挥它在现实世界中的作用。 

三、数学建模的价值：

随着数学和数学教育的不断发展，人们越来越认识到“建模思想”的价值。郑毓信教授在《数学教育哲学》一书谈到：在数学发展的早期，人们通过观察和实验，并且依靠对经验事实的归纳获得了一些认识，从现今的观点来看，只能说是一种经验而不能被看成真正的数学知识。”比如“原始意义上的七桥问题，只能说是一个游戏，而不被看成一个真正的数学问题；与此相反，这一问题由于欧拉的合理抽象被变形成了一般的‘一笔画’问题，并通过‘奇点’‘偶点’等概念的引进得到了十分一般化的处理，这时它才获得了真正的数学意义”由此可以看出，数学学习只有深入到“模型”“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。

有了建模意识可以让我们对数学问题的把握更贴近本源，目光更长远。例如学生刚开始接触“鸡兔同笼”问题时，会十分不解：鸡和兔的头、脚难道还会分不清吗？为什么还要混在一起去计算呢？而当通过“鸡兔同笼”的模型去解决了“竞赛积分问题”“春游时4人船、6人船问题”“篮球赛中3分球、2分球问题”“抽奖过程中一等奖、二等奖问题”时，学生就能够体会出模型的现实意义与价值了。其实不论是情境还是素材，都只是表面的，模型才是最为本质的。

数学建模，是一种方法，一种思想，更是一种观念，一种意识。在小学，它更多地是指用数学建模的思想和精神来指导数学教学，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，初步形成模型思想，为学生观察世界、认识世界配上一支科学的魔杖，为孩子们将来真正迈入数学的殿堂搭建起坚实的阶梯。

参考书目：

①      《数学课程标准》（2011年版）

②      《数学课程标准（2011年版）解读》

③      《数学建模：是一种方法，更是一种意识》储冬生《江苏教育》2011.3

④      百度百科词条：数学模型

⑤      MBA智库百科词条：模型