一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布. 本节将要介绍特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具.

 

一、定义

定义1  设ξ、η为实值随机变量，称ζ= ξ+ iη为复随机变量，这里_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image004.gif}为ζ的数学期望.

复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image006.gif}具有与实数学期望类似的性质.

定义2  设ξ为实随机变量，称

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image010.gif}                       (1)

为ξ的特征函数(Characteristic function)，这里t是任意实数.

由于 E|_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image012.gif}|=1, 因此对任意ξ，对一切t∈(--∞,∞)，(1)式都有意义. 换句话说，对每个随机变量ξ（或者说每个分布函数F(x)），都有一个特征函数f (t)与之对应，它是定义在(--∞,∞)上的实变量复值函数.

特征函数是ξ的函数_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image014.gif}的数学期望，故由§1得

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image017.gif}.

特别，若ξ为离散型，P(_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image019.gif},  n =1,2,…, 则

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image022.gif}.                                               (2)

若ξ是连续型，其密度为p (x)，则

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image025.gif}，                      (3)

它就是函数p(x)的傅里叶变换.

例1  退化分布P(ξ= c) =1的特征函数  f (t) =_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image027.gif}.

例2  二项分布B (n, p) 的特征函数

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image034.gif},  (p+q =1).

例3  泊松分布P(λ)的特征函数

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image041.gif}.

例4  均匀分布U [a, b] 的特征函数

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image046.gif}.

例5  正态分布N (a,_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image048.gif})的特征函数

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image055.gif}.

例6         如果_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image059.gif}

这里的计算涉及复变函数的围道积分，从略.(参见本章末的补充与注记5)。

 

二、性质

设_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image060.gif}为特征函数。

性质1  |f (t)|≤f(0) =1                                                                       (4)

           f (-t) =_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image062.gif}                                        (5)

证  |f (t)| = |_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image068.gif}=1,故有(4)式.

又 f (-t) =_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image074.gif}, 得证(5)式.

性质2  f (t)在 (--∞, ＋∞)上一致连续.

证： 对于任意的t∈(--∞, ＋∞) 及ε>0,

|f (t +h)--f (t)| = |_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image076.gif}|

           ≤_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image080.gif},

因为_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image084.gif}<ε/4, 因此

           _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image088.gif}<ε/2.

又   |_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image092.gif}(2A), 当 |x| <A及 0 < h <δ时，|sin (hx / 2)| < |hx /2| <ε/ 4, 故

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image094.gif}≤ε/2，

从而  |f (t+h)--f(t)| <ε. 且从证明可见δ的选取与t无关.

性质3  f(t) 是非负定的：对任意正整数n及任意实数_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image098.gif}，有

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image100.gif}0.                              (6)

证  _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image104.gif}

=_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image108.gif}0.

这个性质是特征函数的最本质属性之一. 事实上，我们有

   波赫纳尔—辛钦(Bochner-Khinchine)定理  函数f (t ) 为特征函数的充要条件是f (t ) 非负定，连续且f (0) =1.

定理的证明比较冗长，这里略去. 它在理论上给出了一个判定特征函数的方法，但具体判定一个函数是否非负定是不容易的，所以本定理实际用处不大. 许多具体问题要判定一个函数是否为特征函数常用另外的方法（见本段末及第四章§1).

性质4  若_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image116.gif},则

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image118.gif}.                          (7)

这是因为_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image122.gif}间相互独立，故

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image126.gif}.

这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用.

性质5  若E_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image128.gif}存在，则f (t) 是n次可微的，且当k≤n时，

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image130.gif}.                                         (8)

证  由于 _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image139.gif}存在，且

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image144.gif},

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image150.gif}.

特别,当E_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image154.gif}.

性质6  设η= aξ+b,  a,b是任意常数，则

  _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image156.gif}.                                        (9)

这是由于  E_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image158.gif}.

例6  若ξ～N (a,_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image164.gif}.

解  ξ的特征函数 f(t)=_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image166.gif},

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image172.gif},  

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image175.gif}.

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image184.gif}.

例7  下列函数是否某随机变量的特征函数？

1)  f (t) = sint；

2) f (t) = ln (e +| t |) ；

3) 当t <0时, f (t) = 0；当t≥0时, f (t) =1.

解  1) f (0) = 0≠1；2) | t |≠0时,  |f (t) | > lne =1；3) f (t) 在t = 0处不连续, 因此它们都不具有特征函数的性质，所以都不是特征函数.

从随机变量的分布函数可唯一确定它的特征函数，反之，从特征函数是否唯一确定了相应的分布函数？后面的逆转公式与唯一性定理对这个问题作了肯定的回答.

 

三、逆转公式与唯一性定理

定理1（逆转公式）  设分布函数F(x)的特征函数为f (t)，又_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image186.gif}是F(x)的两个连续点，则

F(_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image188.gif}.         (10)

证  不妨设_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image190.gif},

(10)式的右边=_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image192.gif}.

变换积分次序，并把积分区间[-T, T]分成[-T, 0]与[0, T]，在[-T, 0]中令t=-u, 再与另一半合并，

上式=_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image194.gif}  

=_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image196.gif}.             (a)

注意到

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image204.gif}

若记

            g(T,x,_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image206.gif}

则

                _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image208.gif} ,            (b)     

因此存在M >0，|g(T,x,_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image225.gif} 五个区间,  (其中δ为充分小的正数), 由(b)，(a)式在第一、第五区间上积分为0, 在第三区间上积分为

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image231.gif}),                           (c)

而在第二和第四区间上积分的绝对值不大于M (F(_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image242.gif})，且后两式趋向于0, 从而得到(10)式.

注  若去掉“_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image249.gif})) / 2，而(10)式应改为

             _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image251.gif}

= ( F(_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image255.gif})/ 2

   = P(_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image259.gif}

上面证明过程中，交换积分次序及交换极限与积分次序，都需验证有关条件. 例如在(a)的第一个等式中，因为

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image261.gif}

对t一致有界，故可交换积分次序. 其它也类似可证. 为节省篇幅，不一一赘述了.

定理2 （唯一性定理）  分布函数可由特征函数唯一确定.

证  在(10)中令y =_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image265.gif}，则

F(x)=_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image269.gif}.          (11)

于是在F(x)的连续点，由f (t) 决定了F(x). 至于在F(x)的间断点，由于F(x)的右连续性，只须沿连续点取右极限，就唯一确定了F(x) 的值.

定理3(逆傅里叶变换）  设f (t)是特征函数，且 _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image271.gif}（f (t)绝对可积）,则分布函数F(x)的导数存在且连续，此时

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image273.gif}                  (12)

注  _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image279.gif}= p (x)是ξ的密度函数，ξ是连续型随机变量. 这个定理说明：f (t)绝对可积时，对应的随机变量必为连续型，其密度即为(12)决定. (12) 与 (3) 恰为一对傅里叶变换.

证  在_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image287.gif}连续，且此时逆转公式可改写成

           F(_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image289.gif}.

两边除以_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image295.gif}=1，就有(12)式.

类似上面的证明，进一步可证_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image299.gif}连续.

   对离散型随机变量，我们也有类似的结果. 假设_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image304.gif}  那么其特征函数为

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image306.gif}.

如果_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image310.gif}乘以上式两边并积分. 注意到

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image314.gif}

我们有

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image316.gif}

上面这三个定理使得人们可以从特征函数求分布函数或密度函数. 但从(11)式直接计算分布函数是困难的，它的意义主要是理论上的.

例8  求证f (t) = cost是某随机变量的特征函数. 并求出它的分布函数.

解  f (t) = cost =_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image324.gif}的随机变量的特征函数.

一般，若能把f (t)写成_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image332.gif}, n=1,2,….

例9  若f (t)是某随机变量ξ的特征函数；求证_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image336.gif}也是特征函数，

解  由性质1及性质6，f (－t) = _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image337.gif}是－ξ的特征函数.

又设_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image350.gif}.

 

四、分布函数的可加性

特征函数有很多重要的应用, 这里只用它来讨论分布函数的可加性.

所谓可加性，也称再生性，是指若ξ与η相互独立，服从同一类型分布，则其和ξ+η也服从该类分布，且其分布中的参数是ξ与η的相应参数之和. 这类分布称为具有可加性（additivity）. 利用第二章§5的卷积公式，我们已知道二项分布，泊松分布和Γ分布具有可加性，但证明很麻烦. 利用特征函数就要方便得多，而且对多个随机变量的和也可直接讨论.

例10  若_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image356.gif}的分布.

解  _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image363.gif}的特征函数为

      _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image365.gif}.

根据唯一性, _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image369.gif},p).

例11  设_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image377.gif}的分布.

解  _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image383.gif}的特征函数就是

       _{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image389.gif},

所以_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image391.gif}也服从正态分布，其数学期望为各自数学期望的和，方差为各自方差的和.

 

五、多元特征函数 

定义3  设随机向量ξ=（_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image395.gif}，称

f (_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image401.gif}   (13)

为它的特征函数.

用向量的形式，记t= (_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image405.gif}, 则(13)式可改写为

                f (t) = E_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image411.gif}

这形式非常类似(1)式, n=1时就是(1)式.

多元特征函数的很多性质与一元类似，例如一致连续性，唯一性等等, 不再赘述.这里只介绍某些新的性质.

性质_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image415.gif}的特征函数为

_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image419.gif}.

性质_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image427.gif}的特征函数为

f (0,…,0,_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image429.gif}.                 (15)

利用唯一性定理，我们还可以证明以下两条性质.

性质_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image439.gif}的特征函数

                  f (_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image443.gif}             (16)

性质_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image451.gif}的特征函数.

最后，为了下一节的需要，我们提前介绍连续性定理. 它的证明比较复杂，这里从略. 当n =1时的证明将在下一章给出.

定理4（连续性定理） 若（_{http://www.math.zju.edu.cn/Probability/course/chapter3-3.files/image461.gif}的n元特征函数.