镶嵌图案（tessellation）的种类很多。  tessellation是指在一个平面中由同一个图案形状重叠反复，中间不留空白而形成的类似棋盘或瓦片结构的东西。这个词出自希腊语，如果你查一下字典，就可以知道它的意思是：把小方快组成棋盘或马赛克结构的图案。这个词是从爱奥尼亚语来的（最早出自希腊语的TESSERES，它的意思是“四”）。初期的tessellation 多是正方型的图案。后来被用在马赛克中，作为地面或墙面的装饰瓦。这种瓦饰中最先进的当属伊斯兰人，因为伊斯兰教是不允许用人物或动物形象做装饰的。最好的伊斯兰瓦饰被西班牙南部的阿尔罕布拉宫（西班牙格拉纳达的摩尔人王宫）所接受。这个词一直使用到现在，指用单独的瓦拼接成的图案。有时候是单一的图形，有时候是混合的图形。
      西方的数学界对此有着广泛的研究，人们写了许多这方面的书籍和论文。最权威 的书是《瓦饰与图案》（作者是Branco Grimbaum 和 G.C. Shepherd）。至今，这本书还总是在重印中。牛津大学教人工智能的教师兼作家Penrose在业余时间研究发现了非周期性瓦饰图案。1985年3月他在罗马的艾舍组织了一个大型座谈会。会后出版了一本关于会议记录的书，他是其中的编辑之一。
      一个正多边形有3、4、5或5个以上的完全相同的边和角。一个正镶嵌图案是说这个镶嵌图案是由全等的正多边形组成。（注意：这里说的“正”是指所有的边和角都是完全相等的）
   构成镶嵌图案的正多边形在欧几里得平面中只有三个：正三角形、正方形和正六边形 。

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        当你看这三个图的时候，很容易就可以看出，正方形是并排的，而正三角形和正六边形则不然。如果你把六个正三角形看成一个整体时，它们就是一个正六边形。所以正三角形和正六边形是相同的，都不能像正方形那样，并列排序。
   我们可以算出正多边形内角的度数：正三角形是60度，正方形是90度，正五边形是108度，正六边形是120度，正六边形以上的都大于120度。
   镶嵌图案中的正多边形必须是以顶点排列的，所以它们的角度必定是能被360度整除的，就是我们前面所提到的正三角形，正方形和正六边形的内角度数。那么其他的镶嵌图案中正多边形内角的度数呢？是否也必须能被360度整除呢？不一定！所以这些正多边形不能出现在欧几里得平面中，它们应该是3D的。
       镶嵌图案用在折纸中就是镶嵌图案折纸（Origami　tessellation）它不是用瓦片，而是用单张的纸。有两个主要的阶段：首先在纸上画好图形或直接在纸上折出折痕。虽然不是用单个的瓦片组成的，但是可以看成是一种单片瓦的组合。第二，我们按照图形的主线条用山折或谷折来折。完成后纸就“塌陷了”，进入与第一个图形完全不同的第二个图形。通常第二个图形是两维的，也可以折出三维的。这很不简单，因为一部分纸藏在折层中。奇妙之处在于：如果你用的是半透明的纸，那么在光线下可一看到正面的图案和反面的图案以外的第三种非常漂亮的图案。
     当今西方研究镶嵌图案的人主要有美国的Chris Palmer 和 Tom Hull 以及英国的 Alex Bateman。 Chris 是一位艺术家，而Tom 和 Alex则是数学家。
     镶嵌图案折纸的创始人是日本的 Shuzo Fujimoto 。是在他研究“编织折纸”中发现的（“编织折纸”是另一个日本人Yoshihide Momotani早先发明的并用在了他的关于纸花折纸的书中。当下中国流行的川崎玫瑰用的就是他的“编织折纸”的技法）。
      Fujimoto是一位中学数学老师，他的书《编织折纸》是1976年用影印机自己印的。其中的许多模型图案非常抽象深奥，非常接近真正的镶嵌图案（tessellations）。1983年他的《编织折纸2》中出现了三维的图案。然而更多的三维图案是在他1976年出版的《立体折纸》这本书中。这是真正的折纸巨著之一。他的所有著作都是日文版的，没有英文版的，对西方的影响不大。这也是一个遗憾。我之所以这么说是因为折纸这门艺术是从日本传到西方然后才影响到全世界的。这也说明了英文的普及远远大于日文。Fujimoto自己发现的在折叠的过程中如何用半透明的纸在光线下显现隐藏的图案的。
   二战前，荷兰艺术家、错觉图形大师：埃舍尔（Maurits Cornelis Escher 1898-1972）  参观了尔罕布拉宫（西班牙格拉纳达的摩尔人王宫）后立刻被摩尔人的这种遍布整个建筑的瓦饰所倾倒。他仔细地进行了研究并制作了复制品。后来他设计了他自己的富有想象力的瓦饰图形并经常运用到他的作品中去。他的作品从上个世纪七十年代一直流行至今。
       1976年大不列颠艺术理事会在伦敦组织了一个重要的伊斯兰艺术展。在其专题的图表中展示了伊斯兰瓦饰中的数学原理。现在欧美国家有不少学生都在学习镶嵌图案折纸，虽然我国还在这方面进行研究的人不多，但其中所展现的美一定会吸引更多的中国爱好者的。
      好了，下面发几张图片，有尔罕布拉宫的瓦饰图片，有埃舍尔的作品图片，有西方爱好者的镶嵌图案折纸作品图片，还有我自己的镶嵌图案折纸学习作品图片。

1。 A3的纸，水平和垂直方向16等分，对角线方向32等分。

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2。六角形图案之一。A3的纸，首先裁出正六边形，三个方向都是32等分。
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3。 成品的正面。
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4。 方形的TESSELLATION。
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5。 正面图案。

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6。这是反面。
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7。 这个比较简单。
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8。六角形图案之二。
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9。 这是我根据编织折纸的原理设计的一个玫瑰花。虽然简单，但不失美观。它的反面是在编织（TWIST）的过程中自动锁合的，非常牢固。不需要象川崎玫瑰那样人工锁合。
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10。 这个结构虽然简单，但是做起来却很费时间。
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11。国外作品之一。

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12。之二。
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13。之三。
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                                     14。 埃舍尔的作品。
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15。埃舍尔的作品。

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16。 埃舍尔的作品。

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17。 埃舍尔的作品。
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18。尔罕布拉宫的瓦饰图片。
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19。 尔罕布拉宫的瓦饰图片。

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20。 尔罕布拉宫的瓦饰图片。

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