四年级第二学期讲义

第十二讲  逻辑问题

一、             知识要点

逻辑推理就是根据一系列的事实或论据,使用一定的推理方法,最后得到结论的严密的理性思维过程。解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案.常用方法包括：排除法、假设法、反证法、筛选法等，还经常用到列表、作图等辅助手段.

 

二、             典型例题

例1      “新星杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.

　　甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”

　　乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”

　　丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”

　　实际上，他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是_____________。

 

 

 

 

 

例2    共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分第二名在铅球项目中的得分是多少?

 

 

 

 

 

例3    4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少?

 

 

 

 

 

 

例4                 某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁．求最大的男孩的岁数．
  

例5        假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。

 

 

 

 

 

例6    周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。一天，周雯来到化验室做作业。做完后想出去玩。"等等，妈妈还要考你一个题目，"她接着说，"你看这6只做化验用的玻璃杯，前面3只盛满了水，后面3只是空的。你能只移动1只玻璃杯，就使盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?"爱动脑筋的周雯，是学校里有名的"小机灵"，她只想了一会儿就做到了。请你想想看，"小机灵"是怎样做的?

 

 

 

 

 

例7  1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？

 

 

 

 

 

例8                 某次考试满分是100分，A，B，C，D，E这5个人参加了这次考试．
  A说：“我得了94分．”
  B说：“我在5个人中得分最高．”
  C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数．”
  D说：“我的得分恰好是5个人的平均分．”
  E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二．”
  问这5个人各得了多少分?
 

 

 

 

 

例9、数学竞赛后，小明、小华、小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌.王老师猜测：“小明得金牌；小华不得金牌；小强不得铜牌.”结果王老师只猜对了一个.那么小明得_________牌，小华得___________牌，小强得___________牌。

分析 逻辑问题通常直接采用假设的推理，逐一分析，讨论所有可能出现的情况，舍弃不合理的情形，最后得到问题的解答.这里以小明所得奖牌进行分析。

 

 

 

例10、A、B、C、D四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个学科的奖学金，但他们都不知道自己获得的是哪一门奖学金.他们相互猜测：

　　A：“D得逻辑学奖”；

　　B：“C得英语奖”；

　　C：“A得不到数学奖”；

　　D：“B得语文奖”。

　　最后发现，数学和逻辑学的获奖者所作的猜测是正确的，其他两人都猜错了.那么他们各得哪门学科的奖学金？

 

 

 

 

 

例11、李英、赵林、王红三人参加全国小学生数学竞赛，他们是来自沈阳、大连、本溪的选手，并分别获得一、二、三等奖.现在知道：

　　①李英不是沈阳的选手；

　　②赵林不是大连的选手；

　　③沈阳的选手不是一等奖；

　　④大连的选手得二等奖；

　　⑤赵林不是三等奖。

　　根据上述情况，王红是__的选手，他得的是__等奖。

 

 

 

 

 

例12、一次数学考试，共六道判断题.考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“×”.记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分.已知A、B、C、D、E、F、G七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出G的得分，并简单说明你的思路。

　

 

 

 

 

 

例13、有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。

　

 

 

 

 

例14、李云和他哥哥参加一次集会，同时出席的还有其他两对兄弟.见面后有的人握手问候，没有人和自己的兄弟问候，也没有人和同一个人握两次手.事后李云发现除自己外其余的人握手次数互不相同，问李云握了几次手？李云的哥哥握了几次手？

　

 

 

 

 

 

例15、公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”.第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道.第一个司机很聪明,他根据第二、三个司机的“不知道”,作出了正确的判断，说出了自己的目的地。

　　请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的；他又是怎样分析出来的？

 

 

 

 

 

 

例16、五位棋手参赛，任意两人都赛过一局．胜一局得2分，败一局得0分．和一局得1分，按得分多少排名次，已知第一名没下过和棋；第二名没输过，第四名没赢过．问这五名棋手的得分分别是多少？

 

 

 

 

 

三、             练习题

1、在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶．其命中情况如下：
    ①每人4发子弹所命中的环数各不相同；
    ②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；
    ③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样：
    ④甲与丙只有1发环数相同；
    ⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环．
    问：甲与丙命中的相同环数是几?
【分析与解】  条件较多，一次直接求出满足所有条件的情况有些困难，争把条件分类，再逐个满足之．
第一步：使用枚举法找出符合每发最多不超过7环、四发子弹命中的环型不相同，和为17环的所有情况；
第二步：在这些情况中去掉不符合条件③、④的，剩下的就是符合全部条利的情况，即为答案．
满足条件①、②、⑤的只有如下四种情况：
   
   
从上述四个式子中看出式A与式B有数字1、7相同；式B与式D有数字4和5相同．式B既与式A有两个数字相同，又与式D有两个数字相同，式B就是乙．   
式A与式D对应为甲和丙．
式A与式D相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6．

 

2、 一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？

   【分析与解】3 . 如果只有1人戴黑帽子，那么第一次关灯他就会打自己耳光；如果有2人，第二次关灯他们就会打自己耳光；有n人戴帽子的话第n次关灯他们就会打自己耳光。

 

3、 一逻辑学家误入某部落，被囚于牢狱，酋长意欲放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门。现从两个战士中选择一人负责解答你所提的任何一个问题（Y/N），其中一个天性诚实，一人说谎成性，今后生死任你选择。”逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去。逻辑学家应如何发问？

   【分析与解】问：如果我问另一个人死亡之门在哪里，他会怎么回答？

最终得到的回答肯定是指向自由之门的。

 

4、  1，11，21，1211，111221，下一个数是什么？

【分析与解】下行是对上一行的解释所以新的应该是3个1 2个2 1个1 ：312211

 

5、甲、乙、丙在南京、苏州、上海工作，他们的职业是干部、医生和教师.已知：

⑴甲不在南京工作；⑵乙不在苏州工作；⑶在苏州工作的是干部；⑷在南京工作的不是教师；

⑸乙不是医生.

【分析与解】甲是干部，在苏州工作；乙是教师，在上海工作；丙是医生，在南京工作.

 

6、  前提：

1 有五栋五种颜色的房子

2 每一位房子的主人国籍都不同

3 这五个人每人只喝一种饮料，只抽一种牌子的香烟，只养一种宠物

4 没有人有相同的宠物，抽相同牌子的香烟，喝相同的饮料

   提示：１　 英国人住在红房子里

２　 瑞典人养了一条狗

３　 丹麦人喝茶

４　 绿房子在白房子左边

５　 绿房子主人喝咖啡

６　 抽ＰＡＬＬ　ＭＡＬＬ烟的人养了一只鸟

７　 黄房子主人抽ＤＵＮＨＩＬＬ烟

８　 住在中间那间房子的人喝牛奶

９　 挪威人住第一间房子

１０　抽混合烟的人住在养猫人的旁边

１１　养马人住在抽ＤＵＮＨＩＬＬ烟的人旁边

１２　抽ＢＬＵＥ　ＭＡＳＴＥＲ烟的人喝啤酒

１３　德国人抽ＰＲＩＮＣＥ烟

１４　挪威人住在蓝房子旁边

１５　抽混合烟的人的邻居喝矿泉水

问题是：谁养鱼？？？

【分析与解】列表分析可得：

 

7、某医院内科病房，A、B、C、D、E、F、G七名护士每周轮流安排一个夜班.已经知道：A的夜班比C的夜班晚一天，D的夜班比E的夜班的前一天晚三天，B的夜班比G的夜班早三天；F的夜班在B和C的夜班的正中间，而且是在星期四.问每个护士分别在星期几值夜班？

解：除F以外，可将已知条件归纳如下：CA，E_____D，B____G.这里的横线表示空位。

　　可见CA不能排在B____G中间，否则F就无法排在BC的正中间了.又F必排在三个空位之一，因此还有两个空位必定是E_____D和B_____G交叉填空.于是可排出：EBDFG或BFEGD两种情况，而CA只能加在任何一端，那么就有CAEBDFG，EBDFGCA，CABFEGD和BFEGD－CA四种排位.其中只有排位EBDFGCA才能满足已知条件“F在BC的正中间”.所以七名护士值班排序是：E星期一值班，B星期二值班，D星期三值班，F星期四值班，G星期五值班，C星期六值班，A星期日值班.

 

8、在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话.一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：

　　第一个人说：“我们四个人全都是骗子.”

　　第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子.”

　　第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子.”

　　第四个人说：“我是老实人.”请判断一下，第四个人是老实人吗？

解：①四个人当中一定有老实人.因为如果四个人都是骗子，则谁也不会说“我们四个人全都是骗子”.所以第一个人为骗子。

　　②第二个人为骗子.因为如果他是老实人，说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗子，则第二、三、四个人都是老实人.但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，故第二个人说的是假话，他是骗子。

　　下面再看第三个人的回答：如果第三个人是编子，则由①可知，第四个人一定是老实人；若第三个人是老实人，那么由他的话知他和第四个人是老实人.因而无论第三个人是骗子还是老实人，都可以推出第四个人是老实人。

　　所以，第四个人是老实人。

 

9、赵、钱、孙、李、周五户人家，每户至少订了A、B、C、D、E这五种报纸中的一种，已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2，2，4，3种报纸，而A、B、C、D这四种报纸在这五户人家中分别有1，2，2，2家订户，那么周姓订户订有这五种报纸中的几种？报纸E在这五户人家中有几家订户？

（1）由题意可知5户人家订报纸总数与5种报纸的订户数相同，所以设周姓订户订有x种报纸，报纸E有订户y家订报总数是2＋2＋4＋3＋x=1＋2＋2＋2＋y，即y=4＋x；因为5≥y≥0，且5≥x＞0，所以x=1，y=5，因此周姓订户订有这5种报纸中的1种，报纸E在这5户人家中有5家订户。

 

10、某次考试中，试题共有6道，均为是非题。考生认为正确的就填“+”，认为错误的就填“—”。记分的方法是每题答对的得2分，不答的得1分，答错的得0分。已知赵、钱、孙、李、周、吴、郑七人的答案及前6人的得分记录如下表所示，请计算姓郑的得分。

	赵	钱	孙	李	周	吴	郑
1		+	+	+	—	—	+
2	+		—	—	+	—	—
3	+	—		+	—	—	—
4	+	+	—		—	+	+
5	+	—	+	+		—	+
6	+	+	—	—	—		—
得 分	7	5	5	5	9	7	？

分析与解答：从最高分9分的周同学入手，他所答的题中只有一题是错的，而得分为7分的两个人中，只有第4题答案是一样的，如果这题是正确的，那么周同学该题答错了，其他题全答对了，因此正确答案为－，＋，－，＋，＋，－。所以郑的得分为8分。