已知坐标 (x₀, y₀) 与 (x₁, y₁)，要得到 [x₀, x₁] 区间内某一位置 x 在直线上的值。

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/1/e/3/1e31bed6753d7bf8d2921384470135d3.png

由于 x 值已知，所以可以从公式得到 y 的值

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/0/4/1/0411456be41508eccb09956bbd643028.png

已知 y 求 x 的过程与以上过程相同，只是 x 与 y 要进行交换。

在一些要求较高的场合，线性插值经常无法满足要求。在这种场合，可以使用多项式插值或者样条插值来代替。

线性插值可以扩展到有两个变量的函数的双线性插值。双线性插值经常作为一种粗略的抗混叠滤波器使用，三线性插值用于三个变量的函数的插值。线性插值的其它扩展形势可以用于三角形与四面体等其它类型的网格运算。

2、双线性插值

在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

已知函数 f 在 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/b/8/db8a8cb1b575e228dfdea51cbc1bb75c.png, 及 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/f/8/ff8e7258cb51b54837c6e1aaf4b7e25f.png 四个点的值。

首先在 x 方向进行线性插值，得到

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/0/0/1/0014695061f06ae99b2a88885448f7fb.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/c/c/6ccb0faa10648961b7bc26f2656c3cf6.png

然后在 y 方向进行线性插值，得到

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/4/8/e/48efbc5513d6b06bf0a02780cacf35a3.png

这样就得到所要的结果 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/1/d/d1d5f9036a25bed99ceaae9d63a20750.png,

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/e/7/3e71fff610681c8e4932669a2076009c.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/7/e/67e587b52822e9ac2714395548ce7024.png

如果选择一个坐标系统使得 f 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那么插值公式就可以化简为

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/1/8/3/1831a0c3c97e1a3deaa44f68cc752f6d.png

或者用矩阵运算表示为

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/c/2/fc2e1aee4d7434cc6c90fd34e0b2cbd4.png

与这种插值方法名称不同的是，这种插值方法并不是线性的，它的形式是

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/a/9/2/a92597932da7ab2b097cb53ab4ece9fb.png

它是两个线性函数的乘积。另外，插值也可以表示为

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/5/4/354506ed47c0513268e319bddb12a7c3.png

在这两种情况下，常数的数目都对应于给定的 f 的数据点数目。

线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值，然后进行 x 方向的插值，所得到的结果是一样的。

双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值。

3、三线性插值

三线性插值是在三维离散采样数据的张量积网格上进行线性插值的方法。这个张量积网格可能在每一维度上都有任意不重叠的网格点，但并不是三角化的有限元分析网格。这种方法通过网格上数据点在局部的矩形棱柱上线性地近似计算点 (x,y,z) 的值。