讲题的四种境界

江西省临川二中  黄金声（344100）

讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题.笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点.

一、什么是“讲题的四种境界”？

第一种境界：就题讲题，把题目讲清

（达成目标：一听就能懂）

第二种境界：发散试题的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透

（达成目标：一点就能透）

第三种境界：理清试题的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活

（达成目标：一时忘不了）

第四种境界：探究试题之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做试题的主人

（达成目标：一用真有效）

二、“讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释

1.会解题≠会讲题 

会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题.

讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂！－－基础太差了！？

②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题？教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢？－－悟性有问题！？

③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题.－－不信教不会（再不会就没救）！？

会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用.

讲题前情景①教师认真做题②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的？做题过程中遇到哪些障碍？③学生在思考过程中会遇到哪些障碍？怎样讲才会使学生更容易接受？

在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：

题1 如图，将一张长方形纸片翻折，

则图中重叠部分是       三角形.

答案很简单：等腰三角形.

由此引发了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形？是等腰三角形吗？是不是随便一折都是等腰三角形？

于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来.结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，

当然，还可以折出等边三角形.如图所示：

 

而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中∠ 的变化就轻松搞定，即：

①当45＜ ＜90时，△ABC是锐角三角形；

②当0＜ ＜45时，△ABC是钝角三角形；

③当 ＝45时，△ABC是等腰直角三角形，当 ＝60时，△ABC是等边三角形.

在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗？从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由∠ 的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等.

2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的.这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定.

2.清楚≠懂≠会

清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把 “分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来.其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界.

懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”.其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界.

会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力.其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界.

 

题2 （2007·常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，AH＝2，连接CF．

（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；

（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；

（3）判断△FCG的面积能否等于 ，并说明理由．

讲题分析：

 

A

B

C

D

E

F

G

H

第（1）问中“DG＝2”寓意于DG＝AH ，即△HAE≌△GDH，且∠GHE＝90°．又由菱形EFGH可得点F（或CF）此时位于BC边上，由此可知，四边形（菱形）EFGH已特殊化为正方形，所以，△FCG的面积等于△GDH的面积．

第（2）问中“DG＝x”是让菱形EFGH一般化．由于可推知

△FCG中，CG＝6－x，所以，作出CG边上的高FM就成为一种

必然．由图形的对称性可知，应连接GE，通过证明△HAE≌△FMG，

得FM＝AH＝2．

第（3）问是借助试题中“菱形EFGH的两个顶点E、G分别在正方形ABCD边AB、CD上”的限制作用．由第（2）问可知，FM＝AH＝2，是一个定值，则x的大小就限制了△FCG的面积．因为HD＞AH，所以HC＞HB，即①点E不可能与点A重合（x的最小值为0，即HG的最小值等于HD）②点G不能与点C重合（即HG的最大值等于HB）．这样通过求出x的值并由此求出HG（或AE）的值就可以正确判断△FCG的面积能否等于 了．

讲题反思：

1.第（1）问中证明“四边形（菱形）EFGH为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH≌△FCG模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍？

2.第（2）问中“连接GE”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题（或解题）中得到暗示．同时，试题中连接CF有些不流畅．

3.研究发现：由于点F是随着点G、E的位置变化而变化的，虽然点F到DC的距离FM＝AH＝2，是一个定值，但点F到AD的距离却在一定范围内发生变化．

为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形EFGH中点F的位置变化为主线，改编成下题：

题3 如图，正方形ABCD的边长为6.以直线AB为x轴、AD为y轴建立坐标系.菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，已知AH＝2.

（1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；

（2）设DG=x.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；

 

A

B

C

D

y

x

备用图

B

A

C

D

E

G

H

x

y

图甲

F

（3）设点F的横坐标为m.问:m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由.

 (思考：正方形ABCD可以作怎样的改变？将正方形ABCD置换成矩形可以吗？平行四边形呢？梯形呢？)

3.应该有＝想有＋可能有

一般说来，教师不会把学生完全没有学的、学生现有知识能力水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目（难题）无从下手呢？此时学生的心态是怎样的呢？教师面对这种情况又该怎样做呢？

想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感.

可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要.

根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面入手：

1.从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；

2.从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；

3.从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；

4.从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；

5.有时教师的一个手势、一幅表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成.

 

1

应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界.

题4 （2006 · 安徽）如图，直线 l过正方形 ABCD 的顶点 B ,

点A、C 到直线l的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的边长是          .

 讲题分析：

    1.利用AB＝BC和∠ABC两个已知条件，证明△Rt AEB≌Rt△BFC，得EB＝FC.

2.利用勾股定理求出正方形的边长AB＝ .

讲题反思：

1.正方形 ABCD 的顶点 D看起来是否“很孤单” ？如图1，能否求出点D到直线 l的距离DG？（DG＝3）

2.正方形 ABCD是否“摇摇欲坠”？将图形特殊化：如图2，令AE＝CF，且AB＝ .则AE＝CF＝ ，DG＝ .

3.观察、比较上面两题中AE、CF、DG的大小，你发现了什么？（AE＋CF＝DG）如图3，你能证明这个结论具有一般性吗？作AM⊥DG于点M，可证：

①四边形AEGM是矩形，则AE＝MG；②由△ADM≌△BCF，可得AE＋CF＝DG.

4.让直线 l动起来！

如图4，可证△ADE≌△CBF，得DE＝BF，即点A、D到直线 l的距离之和与点B、C到直线 l的距离之和相等.

思考：直线 l的位置若再发生变化，还有类似的结论吗？你能总结出一般规律吗？

 

A

B

C

D

1

l

2

E

F

G

H

图1

A

B（G）

C

D

l

E

F

图2

A

B

C

D

l

M

E

F

G

H

图3

A

B

C

D

图4

l

E

F

A

B

C

D

l

图5

E

F

5.如图5，连接AC，你能利用图形证明勾股定理吗？

 

4.讲题的最高境界＝授之以法＋培之以能＋强之以心

对应于“讲题的四种境界”，一个合格的教师，其讲题的效度大致有以下四种水平层次：

正确：内容正确熟练，进度适中切贴，板书工整得当，讲话清晰从容.

易懂：外在关系注意铺垫呼应，内在联系注意区分主次，化难为易注意方式方法，关键突破注意把握时机.

独到：说之以理见技巧，动之以情见门道，感之以美见艺术，启之以需见奥妙.

固顶：授之以法，培之以能，强之以心.

①授之以法：关注通性通法，做到深入浅出，让学生易学.

②培之以能：引导数学思考，激发学习欲望，让学生想学.

③强之以心：鼓励提出问题，强调自主探究，让学生会学.

题5 正方形ABCD中，M是边AB上任意一点（不与点B重合），E是AB延长线上一点，连接DM，作MN⊥DM，交∠CBE的平分线BN于点N.

（1）如图1，当M是AB的中点时，求证：DM＝MN；

 

A

B

C

D

E

M

N

图1

A

B

C

D

E

M

N

图2

（2）如图2，当M不是AB的中点时，（1）中的结论还成立吗？说明理由.

 

证法探究：①作NF⊥AE，证Rt△DAM≌Rt△MFN；②在AD上取一点H，满足DH=MB，证Rt△DHM≌Rt△MBN.

逆向思维：若DM=MN，则MN⊥DM成立吗？

类比拓展：在正多边形中，类似本题的结论是否也成立？

（类比联想）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：

①如图1，两个全等正三边形的其中一边AC完全重合，点M是边BC上任意一点（不与点C重合）.若∠AMN = 60°，则AM = MN.

②如图2，两个全等正方形的其中一边CD完全重合，点M是边BC上任意一点（不与点C重合）.若∠AMN = 90°，则AM = MN.

然后运用类比的思想提出了如下的命题：

③如图3，两个全等正五边形的其中一边CD完全重合，点M是边BC上任意一点（不与点C重合）.若∠AMN = 108°，则AM = MN.

任务要求 

（1）请你从①、②、③三个命题中任意选择一个进行证明；

（2）请你继续完成下面的探索：

①如图4，两个全等正n（n≥3）边形其中一边CD完全重合，点M是边BC上任意一点（不与点C重合）.问：当∠AMN等于多少度时，结论AM = MN成立（不要求证明）？

 

A

B

C

M

N

P

图1

A

B

C

D

M

N

E

P

图2

A

B

C

D

M

N

E

P

F

G

图3

A

B

C

D

M

N

E

P

F

G

H

I

图5

②如图5，两个全等正六边形的其中一边CD完全重合，点M是边BC的中点.当∠AMN = 120°时，点N是PC的中点吗？说明理由.

 

 （拓展延伸）如图，正方形ABCD与正方形CDEF中，边CD完全重合，连接CE.将直角三角形的直角顶点M在直线BC上滑动(不与点B、C重合)，其中一条直角边始终经过点A，另一条直角边交直线CE于点N.

（1）如图1，顶点M是BC的中点.①求证：AM＝MN；②求证：点N是CE的中点.

 

A

B

C

D

M

N

F

E

图1

A

B

C

D

F

E

备用图

（2）设正方形的边长为1，CM＝m. 求 的值.

 

综上所述，教师在讲题前既要从自己做题的角度去揣摩习题，还要以学生做题的角度去思考习题，更要以命题者的角度去审视试题，只有这样，才能最大限度的挖掘习题的潜能，提高讲题的效率.

能把复杂的问（习）题简单化就是完美，能把简单的问（习）题深刻化就是杰出！让我们共同努力，使自己体验讲题的快乐，让学生在倾听讲题的快乐中享受数学之美！

参考文献

杜和戎.讲授学〔M〕. 华语教学出版社，2007