张法

    如果说，形式美在古希腊以比例为核心，在近代以费氏数列为核心；那么，当代的形式美则跃到为分形(fractal)理论。分形理论由曼德勃罗（Benoît B. Mandelbrot）在19世纪后期一系列理论演进的基础上[1]于1975年正式提出[2]。几何比例和费氏数列虽然都包含无理数，但前者对之作了古代理性的整数化处置，后者将作了近代理性的数列化呈现。在分形理论中，无理数的内含进一步的突显出来，变成了集现代的精致理性和后现代无规则破碎于一体的理论。Fractal一词的核心在于“分”，具体来说包含两个含义：分数和破碎。一方面，无规则破碎是一种“分”之后状况，可称之为由分而破碎；另方面又要在无规则破碎中把握和呈现其规律，这就是由无规则破碎而分数，分数是用古希腊分数去把握无理数的法宝（无限循环的0.333……成为了1/3）和近代数列去把握无限的精神。在分（无规则的破碎）中去掌握全(有理性的分数)。对Fractal，台湾学人中译为“碎形”，强调的是无规则破碎的一面，大陆学人中译为分形，强调的是有理性的分数的一面。具体地说，什么是分形呢？且将理论与实际结合起来讲述。

    要测量客观世界中的事物，事物的特征长度不同，测量尺度工具也会不同，用尺去测万里长城嫌太短，量大肠杆菌又太长。因此合适的“特征长度”显得重要。但还有的事物没有特征尺度，如天上的白云、河中的湍流、室内的轻烟……是不断变幻着的（用术语讲是“无标度性”的），怎么去测定呢？且以曼德勃罗提出分形时的例子：测定英国海岸线有多长。海岸线的长度事实上取决所用尺子的刻度。假设用的是英国的卫星地图，其边长有一英尺。量出长度，然后再乘以已知的地图比例尺，把它转化成实际长度。显然，这种方法会忽略海岸上实际存在不规则的弯弯角角。因此，欲得精确数字，可带上一码长的棍子，沿着英国海滩而行，艰难地一码码地度量。得到的数字会比上一次大得多，因为那些较小的弯角都被计算在内了。但是，这仍然忽略了长度小于一码的地方。只要每减小一次尺子的刻度，长度就会有更大的值，因为每次都能发现那些更小的分结构。因此，测量现实中的不规则形状时，作为尺度的长度概念也需要更改。海岸线并不能如同想像的那样变成直线，而是在各个规模大小上都有弯曲，而且长度会无限地增加（至少直到以原子为刻度）。[3]这时，为了让测量更精确地符合实际事实，分形几何就出现了。现实中的事物并不象古典几何那样在线、面、、体上都是平平直直的，而有更多皱褶。因此，分形几何不同于古典几何，在古典几何中，所有物体的维都只用整数表示，点是零维，线（直线或曲线）是1维，面（平面或球面）是2维，体（具有长、宽、高的形体）是 3 维，而分形几何则是分数维。如平面形的科赫曲线的维度在0与1之前，是个分数，立体形的门杰海绵[4]的维度在1与2之前，是个分数。分数维度正是为精确更精确地测量有皱褶不规则的事物而产生出来。它让抽象的规整的几何进入到了现实的不规则的现实之中。并让这不规则显示出规则来，让破碎被法则所把握，在这一意义上，分形几何是古典几何在精确性和复杂性上的深入。古典几何让我们把握规则之形和整体之形，从而领会规则美和整体美后面的法则，分形几何让我们理解不规则之形和破碎之形，从而体悟不规则之美和破碎之美后面的要义。

    前面讲的海岸线测量，还有一个变动因素没提，这就是随着海水的涨落而产生的弯弯角角的不规则变化，但这种变化虽然复杂也还是可以把握的，它始终如何把静态形状的皱褶用精确的方式表现出来的问题。如果是蓝天中白云的变幻，黑夜中闪电的出现，不但其已经出现之形充满破碎般的皱褶，而且其产生过程也充满不规则的变幻。如果说，由海岸线而来的分形理论与几何比例在形的静态方面所相通，那么，由动的白云和闪电而来的分形理论与费氏数列在扩展的动态方面同调。且用前面提到的科赫曲线看分形理论在费氏数列上的演进。瑞典数学家科赫（Helge Von Koch）用分形来把握雪花而形成了以自己名字命名的科赫曲线。该曲线的生成过程如下：首先，画一个正三角形，边长为1英寸，然后在每边的中间构建一个更小的三角形，其边长是1/3英寸，这样，得到第二个图形（一个以色列的象征符号：六角星形）。三角形的原始边长是3英寸，而现在它由12个部分组成，每个都是1/3英寸长，所以现在它的总周长是4英寸。以后连续地重复此操作，即在三角形的每一边上构建另一个三角形，其边长是前一个三角的1/3。每一增画一次，其周长会增加4/3倍，直到无穷，尽管事实上它所在的仍是一个有限的区域，但是，我们可以展示，这个有限区域是原始三角形的8/5倍[5]。科赫典线与费氏数列一样，是趋向无限的，但是与费氏数列不同，一方面它的总长度趋向无限大，另方面它的面积又是有限的。这里呈现的是与近代的一元论和总体性的无限不同的后现代的多元论和不通约的无限性。这也是分形理论的分数维与古典几何的整数维对照之后而来的效果。画一根直线，如果用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。只是科赫曲线中，它的多元视点和不通约性是在与费氏数列一样的生成演化的动态中呈现的。科赫曲线在生成演化中与费氏数列的不同在于：曲线的任何处不可导，即任何地点都不平滑，走向破碎，在破碎中呈现由古典几何不能把握而分形理论可以把握的规律。

科赫曲线多方面地呈现了分形理论与几何比例和费氏数列的关联和演变。科赫曲线的第一次变换将1英尺的每边换成3个各长4英寸的线段（这里显出了古典比例意味），总长度变为 3×4/3= 4英尺；每一次变换使总长度变为乘以4/3，如此无限延续下去，曲线本身将是无限长的（这里出现近代数序的意味）。这是一条连续的回线，永远不会自我相交，回线所围的面积是有限的，它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内，确实是占有空间的（这里当代分形的特征突显示出来）。除了这些之外，分形理论一个更为重要的特点，是它把本就内蕴在古典几何和费氏级数中的一个特点突显了出来，这就是——自相似。

    在古典几何中，五角星和黄金矩形内蕴着自相似，在费氏数例中，对数螺旋内含着自相似。分形理论的自相似，显出了一种生成的特征。这存于在古典几何中，但由于古典几何的静态特征而未被突显出来，在费氏数列中有所强调，但数列各个数字的不同（1，1，2，3，5，8……）所冲淡。在分形几何中，由于数字变成图形（如在科赫曲线中，是三角形的不断增加，每次增加的全是自相似的三角形），自相似被突显出来。在古典几何如五角星和黄金矩中，自相似的内缩的，因此隐而不显，在分形几何中，自相似是外扩的，生长性得到了大大的强调。分形几何与费氏对数对强调生成的无限性，但其生存演化的方式是不同的，数列的趋向无限显示为天涯海角和太空浩瀚的茫茫无尽，分形趋向无限但明显地在一范围之内，呈现为既向外扩张又向内深入的时空合一型的微妙恍惚。更主要的是，数列中的自相似突出的与近代精神相符的有规则的运行，分形中的自相似彰显的与后现代的碎片相契的无规则的破碎。因此，分形的自相似包含三种类型：一是精确自相似，即分形在任一尺度下都显得一样（由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来）。二是半自相似，即分形在不同尺度下会显为非精确的大略相同。半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸（由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似）。三是统计自相似，即分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度，是最弱的自相似。再作一下范式的比较，古典几何和费氏数列中的自相似主要是精确自相似，而分形理论中的自相似则多为半自相似和统计自相似，正是在这两种自相似里，分形的不规则和破碎碎突显了出来。而有了后两种自相似，分形的自相似作为一个理论整体都着上了不规则和破碎碎的色彩，呈现出五彩缤纷的分形世界：山脉、海岸、雪花、晶体、白云、闪电、向日葵、鹦鹉螺……

    然而，这些分形世界的自相似生成方式又有其自身的规律。且以树木为例。树木的生长，主要特点就是分枝。从分形模型来说，先找出单位长的枝干，成120度分成两枝，长度为原长度的1/2每枝再按照同样方式继续往下分，如此反复。如果长度简缩因数／不是1/2，选大一些的数，比如，0.6，这样，分枝之间的空间就会减少，直到最后分枝重叠。对许多系统来说，比如排水系统或血液循环系统。如果要问究竟在简缩因数为多少时，那些分枝刚好接触到对方，开始重叠，研究的结果是：刚好在简缩因数恰好大于黄金比例1／Φ = 0.618…时，会发生这种情况。因此这样的图形被称为黄金树，从分形理论的角度看，其分数维大约是1.4404。

    不规则碎片形不仅可以由线段组成，而且也能由简单的平面图形，如三角形和正方形组成。例如，从边长为单位长度的等边三角形开始，然后，在每个角接上一个边长为1/2的新三角形，然后再在第二代三角形没有与原来三角形接触的两个角联上一个边长为1/4的三角形，以此类推，再问：简缩因数为多少时，三个大的主枝开始接触，答案同样是：1/(Φ。再用正方形来建造相似的不规则碎片形，同样的情形就会发生：当简缩因数是l／Φ = 0.618时，重叠开始。[6]这意味着什么呢？从古典几何到费氏数列到分形理论，有一种内在规律在其中，而古典几何、费氏数列、分形理论，只是这一规律的三种不同的面相。而这种三不同相面，构成了世界种种事物之为美的内在基础。

    从几何比例到费氏数列到分形理论，是西方形式美在当代的深入，但分形理论重要是在“分”而又“分”之中的数与形的生成，突出的是实体的一面，而在这碎而又碎之中内蕴的视角变幻的一点，则没有在形中得到突显。形的扩张中由大到小同时又由少到多的的“分”呈现是的形的连续性前进和扩张，而把分看成碎则意味着在由大到小而由少到多中则显示的是一种前进和扩张中的断裂。自相似性作为分形的主要特征，从“分”的视点看，是从同一事物自身基础上不断的增加和繁衍，从“碎”的视点看，是新的相似性事物不断地从自身脱离和断裂。分与碎的不同视点要组合起来，而且要特点突出“碎”的作用（既断裂为它事物），而且这“碎”之后还要与“分”形成一个关联整体，这就是本就内蕴着分形理论中的多元视点，这多元视点犹如埃舍尔（M.C.Escher）画《解放》中的境界。画中从底部的三角形始，白三角与白三角是互含，向上分形成鸟，白色鸟和黑色鸟在中间是互含的，最后，黑鸟与白鸟分断开，各自高飞。整个画中，下面呈现是分明是画，上面显示出是明显是现实。从下向上，是画变成现实，从上到下，是现实变成画。从分形的视点观之，可以说，分形的分与碎成为了画中的虚与实。从这一角度看，分形代表了形式美的一种当代转型，由西方实体理论转到有了一些虚实相生意味的理论。埃舍尔的画中，黑与白又可以看成是光的作用。埃舍尔的画以及与其画相关的分形，这就光在当代科学中的进展关联起来，光显示了形式美中另一重要方面：色彩。

曼德勃罗像

科赫曲线

分形线1

分形树2

自相拟

埃舍尔画《解放》

埃舍尔画《水与天》