蒲丰（Buffon）投针试验及一个扩展问题（投三角形），兼谈其应用

一、蒲丰投针的原问题

蒲丰投针试验是一个很有意思的问题。下面先介绍一下该问题及其解法。以下内容来源于网络：

资料一：

1777年法国科学家Buffon提出下列著名问题：

（投针问题）平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a，向此平面任投一长度为l（l小于a），试求此针与任一平行线相交的概率。 

解：以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，β表示针与平行线的交角。 显然有0＜＝x＜＝a／2，0＜＝β＜＝Pi。用边长为a／2及Pi的长方形表示样本空间（构建直角坐标系，竖向是x长度变量,横向是β弧度变量）。为使针与平行线相交，必须x＜＝l*sinβ/2, 满足这个关系的区域面积是从0到Pi的l*sinβ对β的积分，可计算出这个概率的值是(2l)／(Pi*a)。

参考资料：《概率论与数理统计》合肥工业大学出版社

资料二：

蒲丰投针问题，在平面上画出等距离a(a>0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l(l<a)的针，试求针与任一平行线相交的概率。

答案(2l)/(Pi*a)，提示：令M表示针的中点，x表示针投在平面上M与最近一条平行线的距离，y表示与最近一条平行线的交角，则0<=x<=a/2，0<=y<=Pi，针与最近的平行线相交的重要条件为x<=(lsiny)/2

参考资料：《概率论与数理统计》哈尔滨工业大学数学系组编 许承德 王勇 主编

这个问题看起来很难入手。核心问题是找不到Ω（状态空间），也不好确定符合目标的样本，根本上是找不到描述针的状态的方法（其实也有其他方法描述，我想过一些，但是难解，取中点的方法太好解了）。解题思路是将针的位置状态转化为“中点与平行线的距离a”和“针与平行线夹角β”。由于这两个参数可以完全确定针的状态，0＜＝x＜＝a／2，0＜＝β＜＝Pi 即构成了样本空间的总体；x＜＝l*sinβ/2，即构成了符合目标的样本。对于两个变量进行积分运算，可以得到概率值。值得一提的是，可以用这种方式得到pi的值。概率论真是非常神奇，竟然以试验的方法得到某些常数值。数学这种理念性的东西竟然可以和试验相结合。

以上即是蒲丰投针问题的原问题及其解法，不再赘述。

二、蒲丰投针问题的扩展——投三角形问题

其实这个不是这篇文章的重点，上面的东西已经随处都有了。这里主要想谈的是另一个问题——投三角形问题：

平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面上投掷一个边长为abc（小于d）三角形，求三角形与平行线相交的概率。这个问题我想了很久，昨天突然明白是怎么回事。鉴于网上缺乏对此问题的介绍，所以很想讨论一下这个问题，希望对大家有所帮助。

容易想到蒲丰投针问题是该问题的基础，三角形与平行线相交关键是三边与平行线相交。但实际做起来错法实在太多，多数方法是没有能够充分考虑到abc三边的非独立性，即其中一边和平行线相交时另一边是否相交是非独立的。

那么这个问题到底怎么做呢？一个也许不是太容易注意到的细节是：三角形与平行线相交时，必定是两边同时与其相交，不多不少。（这个说法不是太准确，不过顶点与平行线相交的那种情况概率为0，所以这样说也不过分）下面用加法公式来解决这个问题：

分别记事件A、B、C为“边a、b、c与平行线相交”，则要求的是P(A∪B∪C)。根据加法公式：

P(A∪B∪C)=P（A）+P（B）+P（C）-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)   (*)

根据上面的结论，已经可以看出

P(A∪B∪C)= P(AB)+P(BC)+P(AC)             （与三角形相交必为与其中两边相交）

P(ABC)=0                                  （不可能与三边相交）

代入(*)式：

         P(A∪B∪C)=P（A）+P（B）+P（C）- P(A∪B∪C) + 0

因此有

P(A∪B∪C)= [P（A）+P（B）+P（C）]/2，

而P（A）、P（B）、P（C）可以通过上述蒲丰投针试验的结论得到（注意这里已经不必考虑a,b,c的独立性了）。代入即可得（a+b+c）/pi*d。

三、蒲丰投针实验的应用     （2013.01.28）

         最近挺多人看这篇的，也想额外扩展一下谈谈这个问题的应用。当然这些内容主要是根据课上系主任朱老师的讲话整理的，想和大家分享一下。

         其实蒲丰投针只是教材上的一个作业题而已，最初想了很久也找不到答案，想出来以后就很想分享一下。数理统计是大一下开的，当时也只是觉得这个思路非常精巧而已，尤其这个问题竟然可以通过随机化实验得到一个Pi的估计值，让我很惊奇。

         不过真正让我意识到这个问题的现实意义是在多元统计课上。系主任朱教授带我们这门课，在最后的一节课他讲了一些关于现在统计方法应用的一些情况，其中提到一个例子就是关于蒲丰投针问题的。

朱老师讲他本科大三开始对统计感兴趣，尤其觉得蒲丰投针这个问题好玩。他在大三大四对这个问题作了深入的探究，主要是对蒲丰投针逐步扩展，并且计算出了所有这些扩展的概率，然后介绍了一些这个问题的应用领域（其实主要是搜寻的问题）。那么我按扩展的顺序整理一下，并附上一些理解，以及如何这些结论在实际中的应用领域：

（1）蒲丰投针原问题：

这是一个平面问题，是在面上投线。原问题是一个基础，但是实际中很难应用，因为现实中不存在理想的线（无宽度）。

（2）扩展：将平行线变为“带”

第一个扩展是将设置的这组等距平行线变为一组“带”。这里“带”是指一组有宽度的区域。如何运用这个问题：

假设我们有一大片山脉，我们要做的是探明这篇地区是否蕴含某种矿藏。探测设备是飞机，它可以扫描其下一定半径内的是否具有这种矿藏，显然，飞机在飞行的时候其下扫过的是一片“带”。同时，我们已知这种矿藏的分布是线形的，就是说这种矿总是一个线段一个线段地存在。

这样就很清晰了吧。在这个问题里，矿藏就是针，而飞机扫过的“带”就是这组平行线。下面几种表述是相同的：

①投针成功 ó ②针与带相交 ó ③飞机扫过矿藏 ó ④寻矿成功

这样投针问题就成功转化为了蒲丰投针的扩展问题。

这里需要知道几个参数我们就可以知道寻矿成功的概率：带的间距，带的宽度，针的长度（可以用平均长度，或者一个经验性的长度代替）。这样比原问题多了一个参数即带的宽度。具体的表达式可以继续探究。

同样，反过来，给定一个寻矿成功的概率，我们可以反求出参数的数值。通常，飞机的扫过的宽度应该是确定无法改变的了，矿藏的分布当然也是无法改变的。但是我们可以选择带的间距，就是说飞机每隔多远扫过一个带状的侦查区域。这对于提高搜索效率是非常重要的。

假设我们要以95%的概率确定这片区域是否有矿藏，我们就可以得到我们要搜索时每隔多远扫过一个带。

为什么这很重要？因为实际上，读过统计都知道，95%虽然和100%只相差5个百分点，但是效率提升远不只十倍百倍。这个过程也有点像有点另类的抽样过程，间距的选择有点像确定样本量。

（其实我是在想，如果能去画一个一个的正方格子可能效率还要高吧。）

（3）扩展：将针变为“域”

前面还有一个不太符合实际的限制，就是这时矿藏（针）还必须是一个线段。虽然的确有些矿藏可能是以矿脉形式出现的，但可能这条矿脉可能是一个折线、曲线，更有可能的是一个不规则区域。如果能将线形扩展为“域”就可以得到这个更一般的结论了。至于如何推导，还有结论是什么样，我也没看过。所以只说思路。

（4）扩展：平面二维空间扩展到高维

比如深水搜索，可能是利用声纳或者其他一些工具，我们探测的区域是一个柱体、椎体等空间区域，而搜索目标也可能是沉船、古迹、军事目标或者其他什么，这些目标也是一个三维空间，也就是一个三维域。

         这样，以上几个例子简单地讨论了一下这个问题的应用，基本上是在搜索问题中的。有其他好的想法欢迎交流。

By MiltonDeng   (Amber.)    FROM XMU    2011/10/25