弯曲的时空

一．惯性质量与引力质量相等

问：怎么有两种质量啊？

别急，听我慢慢讲来。

牛顿第二定律告诉我们，外力引起一个物体的加速度，加速度与外力成正比，力越大加速度越大；加速度与物体的质量成反比，质量越大，加速度越小。外力、质量、加速度的关系为：

F(力) = m₀（质量）×a（加速度）     (12.1)

这里的质量代表了物体的一种惯性（仿佛是一种懒惰的性格，不容易使它改变自己的状态），这个质量m₀就称为惯性质量。

生活在地球上的人，知道所有的物体都受到地球的万有引力。（唉！没有地球的万有引力，我们都要飞到天上去了。）对一物体的引力大，我们就说这物体重，通常我们拎不动一物体，就说这东西真重，实际上就是这物体所受的地球的万有引力大。伟大的牛顿找出了万有引力的规律。若以M与m代表两个物体的质量，以r表示两物体的距离，以F表万有引力，则有：

F = GMm/r²        （12.2）

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G为万有引力常数，依照国际单位制，力的单位为牛顿 (用N表示)，质量的单位为千克(kg)，距离的单位为米(m)，则常数G近似地等于：

G=6.67×10-11 N·m2·kg-2

这里的质量M与m称为引力质量。若在地球上，M就是地球的引力质量， m就是地球上某个物体的引力质量，通常称它为重量。引力质量m与惯性质量m₀是一样还是不同？这在17世纪，是一个很困惑科学家的问题。

问：我看是应该相同的吧？！

假如相同，我们把牛顿第二定律（12.1）式中的力用万有引力代入，将m₀的下标0去掉就得

GMm/r² = ma   

消去等式两边的m即得      a = GM/r²      （12.3）

也就是说，在地球万有引力的作用下，所有物体的加速度都是相同的，这个加速度通常称为重力加速度。这个结论使很多人不相信。

问：是呀？好像我也有点不相信。是不是伽利略就到比萨斜塔上做实验啦？

的确，要是在斜塔上同时丢下两个重量不同的物体，若两个物体的加速度相同，它们就会同时到达地面。伽利略当年是不是去比萨斜塔上做过这实验，科学史书上并没有记载，但是伽利略的确做过很多实验，譬如，让两个重量不同的球，在一个斜坡顶上滚下，看是否同时到达底部。这样的实验很容易做，用不着巴巴地要跑到比萨斜塔上去。

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实验证明了，不同质量的物体重力加速度相同，也就说明了引力质量与惯性质量是相等的。

问：引力质量与惯性质量相等很重要吗？

很重要，这就引出了第二个问题，待我慢慢讲来。

二．万有引力会在特殊的坐标系中消失

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现在我们来分析这样一个例子。一个少年在一电梯中，站在一个磅秤上，电梯以加速度a向下运动。少年共受到两个力，一个是地球的万有引力F，一个是磅秤给少年的托力p，按照牛顿作用与反作用定律，必然磅秤也受到少年给它的压力p，这个p可以在磅秤上读出来。电梯以加速度a向下运动，当然在电梯中的少年也以加速度a向下运动。以m₀为少年的惯性质量，则按牛顿第二定律有(万有引力用（12.2）式代入)：

GMm/r²- p = m₀ a

若电梯自由下落，即它的加速度为重力加速度，即a = GM/r² ，代入上式，可得：

    p =(m- m₀)GM/r²                           （12.3）

若引力质量与惯性质量相等，则p = 0，即少年完全失重了。

问：哎呀！这样失重，是不是与远离了地球的飞船上一样了呢？

对，假如失重的少年不知道自己是在以重力加速度a下落的电梯中，的确会以为没有了地球，没有了地心引力，自己到了远离地球的飞船上了呢。

这引起伟大的科学家爱因期坦的深思。

问：爱因斯坦想什么了呢？

他想，万有引力怎么与其它力那么不同呢？它不需要传播时间，它没法屏蔽，它在一个特殊的坐标系中会消失。

他觉得原来的相对论用的“惯性系”并不全面，而且是近似的。因为小到地面上，大到宇宙中，无处不存在万有引力，只不过有时候万有引力太小，忽略了它而已，因此原来的匀速运动的惯性系，不过是近似的惯性系而已。

问：为什么是近似的？

我们假想这样一个情况。有一匀速直线运动的飞船离开地球向着火星飞，如图所示。设在飞船中给一个球一个水平的初速度，这个球会作什么运动呢？假如这飞船是一个惯性系，那按照惯性定律，这个球应该沿着初速度的方向做匀速直线运动。但是事实不是如此，在离地球很近时，在地心引力的作用下，球很快作抛物线运动落到飞船的底面，如1图；在离地球较远时，地心引力比较小了，落到底面的时间较长，也离出发点较远，如2图。只有离地球与火星都很远时，把地球与火星的万有引力都能忽略时，小球才做匀速直线运动，如3图。当飞船离火星较近时，受到火星的万有引力，小球又作抛物线运动，掉向飞船顶部，如4图。

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问：还没有考虑太阳的万有引力呢？

是的，我们还没有考虑太阳的存在，我们又没有办法屏蔽太阳的万有引力，实际上小球的运动要复杂得多。

问：那如何去找惯性系呢？既然到处都有万有引力。那又如何能找到惯性系呢？

宇宙中到处存在物质，到处有着无法屏蔽的万有引力！怎么办呢？爱因斯坦想，必须改变原来“相对论”中惯性系的概念，他把原来的相对论称为“狭义相对论”，他要扩充惯性系，找到不受万有引力影响惯性系，在这惯性系中，所有物理规律都能应用。爱因斯坦把这样的相对论称为“广义相对论”，“狭义相对论”只是它的一种特殊情况。

爱因斯坦认为，真正的惯性系必须让万有引力消失。如上图中的1情况，飞船离地球比较近的时候，让飞船像电梯一样，以重力加速度下落，这样在飞船中就感受不到地球的万有引力了，飞船中的球（包括任何东西）都服从惯性定律以及任何物理规律，飞船就成为惯性系。

但这样的惯性系只能是局域的，试想，在地球的附近，各处都有不同的万有引力，因而各处都有不同的局域惯性系，更不用说在宇宙空间了。

爱因斯坦认为：只有这种局域惯性系，才是真正的惯性系，换句话说，没有引力的坐标系才是真正的惯性系（狭义相对论中的惯性系只是一个局域惯性系的特例）。在这种局域惯性系中，所有的物理规律（力学规律、电磁学规律）都具有相同的形式。也就是说，所有物理规律在坐标系变换时不变。在这种局域惯性系中建立起来的理论为“广义相对论”。

问：广义相对论很难吧，如何着手呢？

爱因斯坦在1905年提出“狭义相对论”，考虑到引力场的问题，开始思考“广义相对论”，用去了七、八年的时间，经过了多次的失败，到了1915年末，才得出了“广义相对论下的引力场方程”。

我们知道，不管是力学规律、还是电磁学规律，都是在一定的时间变化下，发生一定的空间变化。在狭义相对论以前，空间与时间是完全分开的。不同坐标系之间的变换是伽利略变换，时间是绝对的，与空间坐标系的变换无关。这种古典的空间、时间变换关系在用到电磁理论中（注意，光就是一种电磁波）就发生问题了。要解决这个矛盾，关键就是要改变空间与时间的概念，体现在不同坐标系的变换不能用伽利略变换，时间不再是绝对的，而是坐标系中的一个坐标，不同坐标系之间的变换用劳伦斯变换，描写物理规律的空间为闵可夫斯基（Minkowski）空间。

问：从狭义相对论到广义相对论，是不是也从改变空间与改变不同空间之间的变换着手呢？

是这样。要消除无处不在的引力场，就像狭义相对论把“时间”放到与空间坐标同等位置上类似，要把引力也放到坐标中去，也就是把引力的作用以坐标系的性质表现出来。

问：这很难吧！

的确很难，在广义相对论以前，物理学中所用的坐标系，在几何学中都称为“欧几里德”空间，我们在中学里学的几何都是“欧几里德”几何学。大家知道欧几里德几何学中的主要规律吧？

回答：知道，有：

1. 两点之间的最短距离是直线。

2. 两平行线永远不会相交。

 3. 三角形内角之和等于180度。等等。

很好，把万有引力放到坐标系中去，空间（包括时间）成为弯曲的空间，平面不再是平面，就不再是“欧几里德”空间，而是“黎曼”空间。欧几里德空间的定理就不再成立。

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譬如，我们用最简单的曲面——球面来看看吧！如图12.5所示，在一球面上，随便看两点，就说D和E吧，它们之间最短距离是通过球心的大圆的一段弧，不是直线。EE'和DD'是两条平行线，但这两条平行线向两边延伸，却最后在A点和B点相交。ADC是一个三角形，可是,∠D与∠C都等于90度，这两内角加起来已经等于180度，再加上A点的内角，肯定超过了180度。

问：那怎么用弯曲的“黎曼”空间来表达引力场呢？

我们知道，力学规律对坐标变化的要求是什么？要求两点之间的距离不因坐标系的不同而变化。譬如天安门广场上的国旗（一个点）与西单新华书店的大门（另一个点）之间的直线距离不会因坐标系的不同而改变，也就是要求ds：

           ds²=dx²+dy²+dz²

在坐标变换下不变。到狭义相对论，必须用闵可夫斯基（Minkowski）空间，两点之间的距离ds复杂了一些，有了时间坐标。要求ds：

  ds²=dx²+dy²+dz²-c²dt²        （12.4）

在坐标变换下不变。这里的ds称为“世界线”或微小的世界线。到了广义相对论，要求坐标变换是不变的“世界线”ds成为：

              ds²=∑g_µv dx_µ dx_v   (其中µ v 为0、1、2、3)   （12.5）

具体写出就是： ds²=g₀₀ dx₀ dx₀+ g₀₁ dx₀ dx₁+ g₀₂ dx₀ dx₂+ g₀₃ dx₀ dx₃

      + g₁₀ dx₁ dx₀+ g₁₁ dx₁ dx₁+ g₁₂ dx₁ dx₂+ g₁₃ dx₁ dx₃

+ g₂₀ dx₂ dx₀+ g₂₁ dx₂ dx₁+ g₂₂ dx₂dx₂+ g₂₃ dx₀ dx₃

+ g₃₀ dx₃ dx₀+ g₃₁ dx₃ dx₁+ g₃₂ dx₃ dx₂+ g₃₃ dx₀ dx₃    （12.5'）

x₀、x₁、x₂、x₃ 中设x₀为时间，则x₀ = ict，x₁、x₂、x₃相当于空间坐标x、y、z。万有引力体现在系数g_µv中。（12.5）及（12.5'）就表示了一个弯曲空间的世界线方程。对不同的万有引力场，有不同的g_µv 。广义相对论就是要对具体的引力场确定出恰当的g_µv来。

问：有了这些系数g_µv为什么就变成弯曲空间了呢？

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问得好，简单地说，在欧几里德空间，用直角坐标来描述，计算ab两点的距离ds，取x y两直角坐标，a b之间的长度ds就是：ds²=dx²+dy²，如图12.6。若在一弯曲面上，如图12.5的球面上，A C两点的距离平方就不是简单的AD的平方与DC的平方之和了，必须加上系数。

http://s14/bmiddle/001qmSa1zy6Qr5FU2yp4d&690

问：爱因斯坦把这些系数都计算出来了吗？

谈何容易，宇宙之间有各种复杂的物质分布，有各种各样的引力场。比较成功地计算出来的就是太阳系的广义相对论方程。如图12.7所示，将太阳中心O取为坐标原点，太阳的半径为r₀，距离O点r处附近的世界线微分，既可以用直角坐标x、y、z来描述，也可以用球坐标r、θ、Φ来描述。用r、θ、Φ描述的世界线微分就为：

http://s3/bmiddle/001qmSa1zy6Qr5L211042&690       （12.6）

这就是一般的方程式（12.5）在特殊的引力场（即太阳系）中的近似解，称为史瓦西（Schwarzschild）解。这个方程式中2GM/(c²r)是一个微小量，M为太阳质量，G为万有引力常数。这个微小量的二级微小量已经忽略了（如0.01是一级微小，(0.01)²=0.0001就是二级微小量）。若r很大，也就是说离开太阳很远，可以忽略引力，则（12.6）式中的2GM/(c²r)也可以忽略，（12.6）式就成为：

   http://s15/bmiddle/001qmSa1zy6Qr5MqoXA1e&690           (12.7)

只要把球坐标换成直角坐标，（12.7）式就成为（12.4）式，也就是说，广义相对论的世界线就变成了狭义相对论的世界线了。

问：弯曲的空间的史瓦西方程能说明什么事实呢？

第一，  解释了水星的进动问题。

按牛顿的万有引力理论，太阳系的行星都是在受太阳的引力下绕太阳做椭圆轨道运行。太阳的所有行星都符合计算，只有水星虽然也作椭圆轨道，但是这轨道的近日点还发生移动，称为进动，如图12.8所示。天文学上发现了，可是没法用牛顿的万有引力定律解释，这是一个很大的天文学上的谜。广义相对论中已经没有了万有引力，万有引力只是使得空间变了弯曲，行星已经没有受到什么力，只是在这弯曲的空间作惯性运动，也就是在这弯曲的空间沿着“世界线”作惯性运动。这种运动与牛顿力学所计算的椭圆轨道有些差别，在计算水星轨道时，的确出现了进动，与天文学观察结果符合。

http://s5/bmiddle/001qmSa1zy6Qr5WauYQa4&690

问：为什么其他行星没有进动呢？

其实所有行星都有进动，只是因离太阳比水星远，进动很小，天文学上不容易观察到而已。

2. 光线的弯曲

光是一种电磁波，20世纪初期，发现了光的粒子性，光可以看成粒子，称为光子。光子的运动速度为c，在坐标变换中是保持不变的。因此对光子这特殊粒子，“世界线”当然也保持不变。看狭义相对论的闵可夫斯基空间的（12.4）式，

ds²=dx²+dy²+dz²-c²dt²        （12.4）

其中 dx²+dy²+dz²= dl² ，dl为dt时间段光子走过的距离，dl/dt=c，即光速度。因而光子的“世界线”ds=0。既然狭义相对论的闵可夫斯基空间只是广义相对论的一个特殊空间，因而对光子而言，广义相对论的“世界线”的ds也必须等于0。将这结果用在史瓦西方程上，就得：

http://s15/bmiddle/001qmSa1zy6Qr60RfHw1e&690     （12.8）

假如不管太阳的引力场（也就是假定太阳的引力对光子没有作用），上式就得：

http://s11/bmiddle/001qmSa1zy6Qr63Euf00a&690

换成直角坐标就得：

     dx²+dy²+dz²-c²dt²=0

让光子沿y方向经过太阳，dx与dz都为0，则光线走一条直线，如图12.9的b图。

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如考虑了太阳的万有引力，则需要解（12.8）方程，解出光子的轨迹如图（12.8）的a 图。光线在太阳附近弯曲了。

光线在太阳附近会弯曲，可以说是爱因斯坦广义相对论的预言。一颗在太阳后面的星星，若按照光的直线路径，是不能被我们看到的，但是若它发出的光经过太阳时发生了弯曲，我们就能看到它，如图12.10所示。但是太阳光很强，我们要能看到太阳背后的星星，只能在发生日全食的时候。

1919年爱丁顿(1882—1944)领导的观测队，第一次定量地证实了光线弯曲的预言。在那年的5月29日，他们在西非的普林西比岛上拍摄了日全食时太阳附近的星空照片，然后与太阳不在这个天区时的星空照片相比较，即可求出光线弯曲的数值，结果与理论预言相当好地符合。1919年以后，几乎每逢有便于进行观测的日全食时，各国的天文学家都要做这个光线弯曲的实验。这些实验的结果都验证了相对论的正确性。