引用本文

顾传青, 唐鹏飞, 陈之兵. 计算张量指数函数的广义逆张量ε-算法. 自动化学报, 2020, 46(4): 744-751. doi: 10.16383/j.aas.c180002

GU Chuan-Qing, TANG Peng-Fei, CHEN Zhi-Bing. Generalized Inverse Tensor ε-algorithom for Computing Tensor Exponential Function. ACTA AUTOMATICA SINICA, 2020, 46(4): 744-751. doi: 10.16383/j.aas.c180002

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c180002

关键词

张量指数函数，广义逆张量Padé逼近，张量ε-算法，张量指数函数的截断法 

摘要

张量指数函数已经广泛应用于工程领域.本文得到了一种有效的张量广义逆, 并以此为基础构造了广义逆张量Padé逼近的一种ε-算法.该算法可以编程实施递推的计算, 其特点是, 在计算过程中, 不必计算张量的乘积, 也不必计算张量的逆.给出的计算张量指数函数的数值实验显示, 将本文的方法与目前通常使用的截断法进行比较, 在不降低逼近阶的条件下, ε-算法能很好地降低计算复杂度, 尤其是在张量的维数比较大的时候.

文章导读

近年来, 张量方法在控制理论及其应用的各个领域得到了广泛的应用, 如基于张量数据表示的深度学习模型[1]、基于非负张量分析的时序链路预测方法[2]、局部图像描述中基于结构张量的HDO (Histograms of dominant orientations)算法[3]、二维解析张量投票算法[4]等.

张量动力系统已经广泛应用于Volterra系统识别[5]、张量乘积TP (Tensor product)模型变换[6]、人体动作识别[7-8]和塑性模型[9]等各个领域.因此, 由于在张量常微分方程解中的关键作用, 张量指数函数的计算已经成为一个重要的研究领域.

有截断法的精度与张量指数函数选取的项数nmax有关, 保留的项数越多, 精度越高, 但是需要进行的张量乘积次数也就越多; 保留的项数越少, 计算量越少, 但是精度也就越低.因此, 计算张量指数函数的截断法有待改进.

为研究上述问题, 本文首次定义了张量的一种广义逆, 并以此为基础构造了张量广义逆Padé逼近GITPA (Generalized inverse tensor Padé approximation)的一种ε-算法. GITPA方法的优势在于:在计算过程中, 不必用到张量的乘积, 也不要计算张量的逆, 另外, 该方法对奇异张量也是适用的.目前在国内外, 关于计算张量的逆还没有找到一种比较可行的计算方法.作为GITPA方法的一个重要应用, 本文在后面给出计算张量指数函数的数值实验, 来说明ε-算法的有效性.

本文组织如下:第1节简单介绍本文用到的张量基础知识, 并定义张量的一种广义逆; 第2节, 首先给出广义逆张量Padé逼近的定义, 并以此为基础给出张量ε-算法; 第3节将ε-算法用来计算张量指数函数值, 并与通常使用的的级数截断法相比较; 最后给出简单的小结.

图 1  不同维数下两种算法运行时间直方图(s)

目前, 国内外还没有看到计算张量的逆和广义逆的有效算法, 本文提出的一种张量广义逆即定义3是一个实用的计算方法, 它是同一类型的向量广义逆(Graves-Morris [14])和矩阵广义逆(顾传青[15-16, 18])在张量上的推广.在该张量广义逆的基础上, 本文得到了计算张量指数函数(12)的张量ε-算法.从计算张量指数函数(14)的数值实验来看, 与目前通用的无穷序列截断法相比较, 在计算精度和计算复杂度上具有一定的优势, 在张量维数比较大时, 这个优势会更加明显.下面的研究工作从两个方面进行, 一是用本文提出的广义逆张量Padé逼近(GITPA)方法来考虑控制论中的模型简化问题, 二是对张量ε-算法的稳定性进行探讨.

作者简介

唐鹏飞  

上海大学数学系硕士研究生.主要研究方向为张量Padé逼近及其在控制论中应用.E-mail: soccer.fly@163.com

陈之兵  

深圳大学数学与统计学院教授.主要研究方向为矩阵计算, 数值逼近及其应用. E-mail: chenzb@szu.edu.cn

顾传青   

上海大学数学系教授.主要研究方向为数值代数, 张量与矩阵计算, 有理逼近及其在控制论应用.本文通信作者. E-mail: cqgu@shu.edu.cn