《数学逻辑游戏07：一种变异的NIM游戏》中的变异的NIM游戏也是一种有限双人零和（没有平局的）游戏，这种游戏的必胜策略就是逼使对方处于必输的状态。（参见《数学逻辑游戏05：NIM游戏（解答1）》）。
　　对任意自然数n，归纳定义a(n)、和A(n)如下：
　　a(0)=0，a(n+1)=不在An中的自然数中的最小数。
　　An={a(i),a(i)+i|i≤n}
则S={|n是自然数}就是全部必输状态的集合。

　　证明S是全部必输状态的集合，只需证明：
　　1. 对于S中的状态，随便怎么拿，得到的状态一定不在S中。
　　2. 对于不在S中的状态，一定存在一种拿法，使得得到的状态在S中。
　　（参考《数学逻辑游戏05：NIM游戏（解答3））

　　1. 设在S中。
　　1.1 在a(n)中拿t根得到（a(m)=a(n)-t，m不在S中。
　　1.2 在a(n)+n中拿t根得到，则a(n)+n-t≠aa(n)+n，所以不在S中。
　　1.3 分别在a(n)和a(n)+n中拿t根得到（a(m)=a(n)-t，m
　　a(n)+n-t=a(n)+n-(a(n)-a(m))=a(m)+n≠a(m)+m，
所以不在S中。

　　2. 设（不存在m
　　2.1 如果y≤a(n)，则y=a(m)+m（m在S中。
　　2.2 如果a(n)
　　如果n在S中。　　如果m在S中。