现在考虑一般的NIM游戏（参见《数学逻辑游戏05：NIM游戏》，《数学逻辑游戏05：NIM游戏（解答1）》，《数学逻辑游戏05：NIM游戏（解答2）》

　　将的表示为二进制，如<3, 5, 7>就表示为<11, 101, 1111>。对于二进制表示有一种按位加的运算，就是在标准的加法中取掉进位，如：
　　　　　　11
　　　　　 101
　　　　　1111
　　　———————
　　　　　1011
一个数位上的最后的值实际上只要看相应数位上1的个数，1的个数是偶数，结果是0，1的个数是奇数，结果是1。
　　使用二进制可以很简单的表示必输状况：按位加都是0的状况就是必输状态。

　　必输状态有两个重要的特征：
　　1. 随便怎么拿，得到的一定不是必输状态。
　　2. 在非必输状态，一定存在一种拿法，使得得到必输状态。
　　这样，我们就能使对方一直处于必输状态，直至<0, …, 0>，从而获得胜利。所以，如果开始的状态是非必输状态，则先游戏者一定有获胜策略；如果开始的状态是必输状态，则后游戏者一定有获胜策略。

　　最后，我们来证明按位加都是0的状况是必输状态。
　　我们在一堆小棍中拿掉一些小棍，则二进制表达式中至少有一位数字发生了变化，而且只在一堆中拿，所以其它推的二进制表达式没有变化，所以按位加至少有一位是1，一定不是必输状态。
　　如果处于非必输状态，则按位加至少有一位是1。取按位加是1的数位最高的的那个数位，必有一个数在这个数位是1。就这个1改为0，使得这个数位的按位加是0。其它比它小的数位作必要的调整，使得每个数位的按位加都是0。这样调整后的数一定比原数小，它们的差就是我们在这堆中拿走的小棍数。

（完）