直线与二次曲线位置关系问题的解题

思路       方程是二元二次方程的曲线是二次曲线，中学阶段主要的二次曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线四种。直线与二次曲线位置关系是高中数学的重要内容，也是高考的热点题型。其基本的解题思路是交点方程组法，即联立直线方程、二次曲线方程得方程组，用方程组解题。具体题型和解法如下：

 一交点个数与求交点问题  交点坐标就是方程组的解，求交点坐标就要解交点方程组。方程组有几个不同的解，直线与曲线有几个交点。因此，判别交点个数就是判别方程组解的个数。这里有两种情况：【1】曲线是圆或椭圆时比较简单，方程组消去一个未知数后的方程一定是一元二次方程，解的情况由判别式完全决定。【2】曲线是双曲线、抛物线时的情况比较复杂，方程组消去一个未知数后的方程的二次项系数有可能为0，方程的解要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。

  二弦长问题 设交点坐标为P(x1,y1)、Q(x2,y2),则x1、x2是交点方程组消去y所得关于x的方程的两根，利用根与系数的关系可得x1+x2、x1*x2的值，代入弦长公式 http://s5/bmiddle/4d9cbefe49af471f196e4&690即可求出弦长。

  三弦中点坐标问题  根据x1+x2的值，利用直线方程容易求得y1+y2的值，再由中点坐标公式就求出弦中点的坐标。另外，通过点在曲线上，坐标适合曲线方程得两个关系等式，对这两个关系等式先作差、再分解,即差分法可以得出弦中点坐标与直线斜率的关系，这也是解决弦中点坐标问题的重要思路，若能使用，常常事半功倍。

  四 其他问题  将问题解决的条件转化为一个等式条件，再利用平方、都乘、分解、配方等方法转化为只含x1、x2或y1、y2的两根和与积的形式，从而使问题解决。这是解决直线与二次曲线位置关系问题的基本思路。

【注1】二次型方程解的讨论思路：http://s14/middle/4d9cbefe49b0ca61098cd&690

注意：二次型方程有两个以上解的条件是三个系数都为 0，亦即二次三项式等于零恒成立的条件是三个系数都为 0。

   【注2】直线与圆的位置关系问题除了可用本思路外，还有更简便的特殊方法，参见链接