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(2021-01-20 08:41:08)
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分类： 科学原理 |
麦克斯韦方程和电磁波的速度的计算
邱兆泰
摘要： 19世纪后期，麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组在物理上以“场”而不是以“力”作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符，从而揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美。并把这种优美以现代数学形式得到了充分的表达。为了让读者了解电磁学和麦克斯韦方程组,该文从一般数学和物理概念出发，描述了麦克斯韦方程组的组成及电磁场波动方程的推导过程，以及怎样从麦克斯韦方程组和波动方程计算出电磁波的速度。
关键词：电场 磁场 麦克斯韦方程组 波动方程 电磁波
麦克斯韦从麦克斯韦方程组预测了电磁波的存在，并计算出了电磁波的速度。这个速度与测量出的光速一致，于是麦克斯韦得出结论“光是一种按照电磁定律在场中传播的电磁扰动”。那么麦克斯韦是怎样从麦克斯韦方程计算出电磁波的速度的呢？
一、几个概念
在说麦克斯韦方程之前，先说研究几个概念。
（一）数学运算：
1 失量的乘法：点乘与叉乘
失量的点乘：
公式：=
|A ||B| cosθ，点乘又叫失量的内积、数量积，是一个失量和它在另一个失量上的投影的长度的乘积；是标量。
点乘反映着两个失量的“相似度”，两个失量越“相似”，它们的点乘越大。
失量的叉乘：
公式：为失量积，其模长等于|A|
|B| sinθ（在这里θ表示两失量之间的夹角0° ≤ θ ≤
180°，它位于这两个矢量所定义的平面上。）
其方向为这两个失量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果失量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从A以不超过180度的转角转向B时，竖起的大拇指指向是C的方向。C=
）
2 算子、梯度运算、散度运算和旋度运算、拉普拉子算子2
算子:Del（nabla）微分算子（），在三维情况下，事实上就是对三个正交方向进行偏导。其表达式为
，其中i、j、k分别为x、y、z三个方向的单位失量。
梯度运算:上面的Del（nabla）微分算子（）用于标量场，称之为梯度运算，得到的梯度为失量。表示一点处场随空间的变化率及这一点最陡峭的增加方向。
，这里ψ是标量场没有方向分量，但其结果是矢量。
散度运算和旋度运算:
上面的Del（nabla）微分算子（）用于失量场，有两种：
一种称之为散度运算，得到的散度为标量。表示场从一点流出的趋势。
，这里A是失量场分别有x、y、z的方向分量，其结果是标量。
另一种称之为旋度运算，得到的旋度为失量。表示场围绕一点环流的趋势，以及最大环流的轴向。
，这里A是失量场分别有x、y、z的方向分量，其结果是失量。
从以上公式可以推算标量场梯度的散度和标量场的梯度的旋度。
任意标量场梯度的散度，
任意标量场的梯度的旋度，
。值为零。
另一个重要的恒等式：任意矢量场的旋度的旋度等于场的散度的梯度减去场的拉布拉斯运算，
这个关系式中，利用了拉布拉斯的矢量形式，它是将拉布拉斯算子应用于矢量场的分量构建而成的，
（笛卡尔坐标系）
（二） 数学概念：
1矢量和标量
矢量：有方向的量。在几何空间中表示为有方向的线段，线段长度为其大小。
标量：没有方向的量。在几何空间中表示为没有方向的线段，线段长度为其大小。
2闭合曲面和非闭合曲面
闭合曲面：所谓闭合曲面就是形成封闭空间的面。比如一个球体的表面，一个长方体的表面，一个圆柱的表面。当然这是规则体的表面，也可以是不规则体的表面。只要是形成封闭空间的面，就是封闭曲面。
非闭合曲面：相反形不成封闭空间的曲面是非闭合曲面。
3通量和环流
麦克斯韦方程涉及到电通量和磁通量。
通量：穿过一个面的进（-）、出（+）矢量在垂直这个面的方向上的分量之和。
穿过闭合曲面的通量用积分形式表示，这里A是矢量场，积分符号上的表示闭合曲面。底部S是面积积分。是矢量点乘的意思。n是指曲面的法线(垂直于曲面)单位（长度等于1）矢量。对于闭合曲面，曲面将空间分为“内面”与“外面”，其单位法向量指向外面-离开曲面包围的空腔。点乘之后就是穿过面S的矢量垂直面的分量之和。
环流：矢量场沿闭合线路的线积分称为场的环流。非闭合曲面的边缘路径是闭合的，因此，环流可以认为是矢量场A沿曲面边缘的闭合路径C的线积分。这里点乘是指A平行于dl的分量之和。
4散度和旋度
散度：通量是矢量在曲面上穿入穿出的量度，散度则是矢量场在某点是散开还是汇聚之趋势的度量。任意一点的散度，可以定义为，当曲面所包围的体积趋近于零时，矢量A穿过曲面的通量与曲面所围成体积的比值。
旋度：旋度是矢量场绕一点旋转趋势的度量。也就是围绕关注点无穷小路径dl的每单位面积S上的环流。其方向为环流最大曲面的法向量方向。任意一点的旋度可以定义为围绕着一点的无穷小路径上的环流与路径所包围的曲面面积的比值。
4散度定理和斯托克斯定理
散度定理：矢量穿过闭合曲面S的通量等于S所包围的体积V中场的散度的积分。
这个定理适用于连续并且连续可导的“平滑的”矢量场。对散度定理可以用下图理解：
图1 矢量穿过闭合曲面S的通量等于S所包围的体积V中场的散度的积分
大家知道，任意一点的散度是当曲面所包围的体积趋近于零时，矢量A穿过曲面的通量与曲面所围成体积的比值。对于曲面S所围成的体积V，如上图所示。其内部的没有与曲面（V表面）接触的小立方体胞体，会与相邻胞体的六个面共面，图中只画出了部分胞体。在共用的面上，一个胞体的正（外）向通量与共面的相邻胞体的负（内）向通量大小相等，符号相反。由于内部所有胞体都跟相邻胞体共面，对总体通量的贡献为零。只有位于V的边界面即闭合曲面S的那些面，不与相邻胞体共有，才对穿过S的通量有贡献。所以，面S的通量积分等于体V的通量积分。
斯托克斯定理：矢量场在闭合路径C上的环流等于矢量场的旋度在以C为边界的曲面S上的法向分量积分。
这个定理适用于连续并且连续可导的“平滑的”矢量场。对斯托克斯定理可以用下图理解：
大家知道，任意一点的旋度是围绕着一点的无穷小路径上的环流与路径所包围的曲面面积的比值。对于闭合路径C所围的曲面S，内部有许多没有与路径C接触的小方块。这些小方块的每条边都与相邻小方块共边。对于每条共边，每个小方块的环流都与共边的方块的环流大小相等，符号相反，对于环流没有贡献。只有S边界即闭合路径C上的那些边不与相邻小方块共有，才对沿C的环流有贡献。所以，线C的环流积分等于面S的环流积分。
图2 矢量场在闭合路径C上的环流等于矢量场的旋度在以C为边界的曲面S上的法向分量积分
（三）物理概念
1电场和磁场
电场：电场其实就是电的力场。单位电场就是单位电荷施加在单位带电物体上的电排斥力。电场可以用以下关系定义：
式中Fe是对小电荷q0的电场力。这样电场有两个重要性质：
1）E是矢量，大小正比与测试电荷所受到的力，方向与测试电荷所受到的力的方向。
2）E的单位是牛顿/库仑（N/C），等同于伏特/米（V/m）。伏特=牛顿×米/库仑。
带电物体周围的电场，常用箭头来表示，方向指向电场方向，长度代表场的强弱。也用带箭头的线来描述。即所谓“电场线”。用场线描述时，线的疏密则表示电场的强弱（线越密则电场强度越强）。用线描述时记住线与线之间也存在电场。并非线稀疏的地方或不画的地方就没有电场。
描述电荷产生的电场有以下经验法则：
1）电场线必须从正电荷出发，到负电荷结束。
2）任何一点的静电场等于这一点所在电场的矢量和。
3）电场线不相交。即电场在一个位置上只能有一个方向。（如果在一个位置上有多个电场作用，则总电场为各电场的矢量之和，电场线指向唯一的总电场方向。）
4）当导体处于平衡时，电场线总垂直于导体表面。
磁场：电场可以通过一个小的检验电荷来做电力界定。磁场也可以通过一个移动的带电粒子所受磁力来界定。带电粒子在相对于磁场运动时会受到磁力作用，这就是洛伦兹力。洛伦兹力公式：
FB是磁力；q是粒子电荷量；v是粒子相对于磁场的速度；B是磁场。
根据叉乘定义，||=|a|
|b| sinθ，得到磁场的幅值
θ是速度矢量v与磁场B之间的夹角。B的单位是特斯拉（T），还有V•s/m2、N/（A•m）、kg/(C•s)，等价于N/（C•m/s）。
对比电场，磁场的特点是：
1）与E类似，磁场正比于磁力。E的方向平行于电力；B的方向垂直于磁力（注意这里电力和磁力都是电荷所受的力）。
2）小的电荷可以界定磁力，磁力和磁场的关系还取决于电荷的速度和方向。
3）磁力垂直于电荷的瞬时速度，磁力沿电荷运动方向的分量为零。磁场做的功为零。
4）静电场由电荷产生，磁场由电流产生。
磁场也可以用场线表示，垂直于场线方向的平面上场线密度正比于场强。
描述电流产生的磁场，有以下经验法则：
1）磁力线不是源自或终止于电荷；它们形成封闭的环。
2）磁铁产生的磁场看似源于北极终于南极，实际上是连续的环。（在磁铁内部场线依然在俩极之间延伸。）
3）任何一点的静磁场等于这一点存在的所有磁场的矢量和。
4）磁力线不相交。即磁场在一个位置上只能有一个方向。（如果在一个位置上有多个磁场作用，则总磁场为各磁场的矢量之和，磁力线指向唯一的总磁场方向。）
材料的的电容率ε决定其对施加电场的反应。对于非导体（绝缘体或电介质），电荷不能自由移动，但有可能稍微改变它们的平衡位置。真空电容率ε0或称自由空间电容率就是电场在真空中所表现出的电容率。它的值是0.8541878176×10-12库仑/（伏特•米）[C/（V•m）]。
二、麦克斯韦方程组的来源
1高斯电场定律
高斯电场定律解决的是闭合曲面的电通量与电荷的关系问题。
从宏观角度，该定律这样表达：电荷产生电场，这个电场通过任意闭合曲面的通量正比于曲面所包围的电荷的总量。
图3 电场通过任意闭合曲面的通量正比于曲面所包围的电荷的总量
其积分表达式就是：
公式的左面就是穿过闭合曲面S的总电通量的积分形式，E是指电场。右面是闭合曲面S所包围的电荷总量qenc和真空电容率的比值。
公式左边是电通量的散度；右边是电荷密度和真空电容率的比值。
2高斯磁场定律
跟电场定律一样，从宏观角度，该定律这样表达：穿过任意闭合曲面的总磁通量等于零。
其积分表达式就是：
公式的左面就是穿过闭合曲面S的总磁通量的积分形式，B是指电场。右面是指这个量等于零。
从微观角度，该定律这样描述：磁场的散度处处为零。也就是穿过包围关注点无穷小闭合曲面上的磁通量等于零。所以，这个定律有另一种表达，微分表达。
这是因为磁场不像电场存在正负电荷。磁场不存在磁单极子，曲面不可能包围单磁荷。磁场线只能从任意曲面穿入多少并穿出多少。所以穿过任意闭合曲面的总磁通量等于零。
3法拉第定律
法拉第定律是关于磁生电的定律。
宏观看，穿过一个曲面的磁通量的变化会在该曲面的任意边界路径上感生出电动势，并且变化的磁场会感生出环绕的电场。
也就是说，如果穿过一个曲面的磁通量发生了变化，就会沿该曲面的边界感生出电场。如果在边界上存在导体，则感生电场提供的电动势会驱动通过导体的电流。
下面是法拉第定律的标准公式
公式的左面，是曲面S边缘闭合路径C上的感生电场的线积分；右面是穿过以路径C为边缘的任意曲面S的磁通量随时间的变化率。根据楞次定律，感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。也就是说电场的产生是为了阻碍磁通量的变化。所以为负号。
还有一种替代形式：
事实上，两个公式是一样的，左边是曲面S场的边界闭合路径C上的感生电场（沿路径C的线积分），右边是随时间变化的穿过以C为边界的任意曲面S的磁通量。根据楞次定律其值为负号。
微观看，电场的旋度等于磁场随时间的变化率。法拉第定律的微分形式。
左边是电场旋度的数学表达即电场围绕一点旋转的趋势。右边表示磁场随时间的变化率。
4安培-麦克斯韦定律
安培-麦克斯韦定律是关于电生磁的定律。
穿过曲面的电流或变化的电通量会产生沿曲面边界的环绕磁场。
下面是安培-麦克斯韦定律的积分形式
左边是沿着闭合路径C的环绕磁场通量；右边是静态导体电流和穿过C围绕的任意曲面S随时间变化的电通量。也就是说磁场有两个来源：一个是曲面所包围的的静态导体的电流，另一个是穿过任意曲面随时间变化的电通量。
安培-麦克斯韦定律的微分形式
电流和随时间变化的电场会产生环绕的磁场。
左边是磁场旋度的数学描述即磁场围绕一点旋转的趋势；右边两项分别是电流密度和电场随时间的变化率。
三、麦克斯韦方程组
高斯电场定律： 电荷产生电场，这个电场通过任意闭合曲面的通量正比于曲面所包围的电荷的总量。-->电场的散度正比于电荷密度。
高斯磁场定律：穿过任意闭合曲面的总磁通量等于零。-->磁场的散度处处为零。
安倍-麦克斯韦定律：穿过曲面的电流或变化的电通量会产生沿曲面边界的环绕磁场。-->电流和随时间变化的电场会产生环绕的磁场。
四、波动方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
下面是波动方程的简单推导过程。
首先假设，在原点处有振动ψ=f(t)，振动以速度v向x轴正方向传播，则t时刻x处的振动方程是
即x处的振动比原点处慢x/v。这样我们就得到了沿x轴正方向传播的波函数一般形式
从波函数出发，可以推导出波动方程的一般形式。
令u=t-x/v
对时间的一阶偏导数
二阶偏导数
对坐标x的一阶偏导数
二阶偏导数
由式子（4.4）和（4.6）可以很容易得到波函数时空变化关系，即波动方程
移项后就得到常见的波动方程
也可变换为：
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，把该方程的形式扩展到三维，其最简形式可表示为：
关于位置x 和时间t 的标量函数ψ（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：
这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。
五、电磁场波动方程
这里我们用麦克斯韦方程推出电磁场波动方程。
首先从法拉第定律微分形式两边的旋度开始：
右边把旋度和对时间的导数换了位置。当然还是要假设场足够平滑，满足要求。
前面讲梯度和散度时，有一个重要的恒等式：
任意矢量场的旋度的旋度等于场的散度的梯度减去场的拉布拉斯运算，
（5.2）。
于是，由式子（5.1）和（5.2），
而根据安培麦克斯韦定律的微分形式，磁场的旋度为
把（5.4）代入（5.3），得，
根据高斯电场定律的微分形式，
把（5.6）代入（5.5），
这是一个二阶齐次偏微分方程，描述了电场在空间的传播。
电场波动方程各种特性及其意义：
线性：电场波动方程对时间和空间的导数其指数都是1，且没有相乘项。
二阶：最高阶的导数为二阶导数。
齐次：所有项都包含波动方程或其导数，没有迫动项和来源项。
偏微分：波动方程是多变量函数（时间和空间）。
对安培麦克斯韦定律两边的旋度进行类似分析可得到
六、光速的计算
波动方程的这种形式不仅告诉我们电磁场存在波，而且还给出了波的传播速度。它就在与时间导数相乘的常数之中。
前面我们推导出波动方程的一般形式（4.9）为
，
其三维形式可表示为
，
这里v是波的传播速度。因此，对于电磁波应该有
。
则，。
代入真空电导率和电容率，
。
正是因为计算出的传播速度与测量出的传播速度一样。据此，麦克斯韦断定：“光是一种按照电磁定律在场中传播的电磁扰动。”
至此，我们探讨了麦克斯韦方程的来龙去脉，通过麦克斯韦方程组推导出电磁场的波动方程并计算出电磁波的传播速度。19世纪后期，麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来麦克斯韦方程组。在物理上以“场”而不是以“力”作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。这两条是发现电磁波方程的基础。麦克斯韦方程组以现代数学形式表达，揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美。
麦克斯韦对这组方程进行了分析，预见到电磁波的存在，并断定，电磁波的传播速度为有限值（与光速接近），且光也是某种频率的电磁波。1887年，H. R.赫兹（Heinrich R. Hertz） 用实验方法产生和检测到了电磁波，证实了麦克斯韦的预见。
1905～1915年间，A.爱因斯坦（Albert Einstein）的相对论进一步论证了时间、空间、质量、能量和运动之间的关系，说明电磁场就是物质的一种形式。
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