反比例函数增减性

设计思想：

孔子的“温故而知新”思想;

奥苏泊尔的“先行组织者”思想；

建构主义思想。

设计思路：

温故知新，做好铺垫：一次函数增减性是同类知识，一次函数增减性的发现方法是先行组织者，已经学过的反比例函数性质是生长点；难点提前突破（增减性的发现是难点），水到渠成；及时小结，理出本节课的重点、要点、关键点；变式练习，加深理解，实现能力的提高。整体上，引导学生自我建构自己的知识结构。

教学重点：

反比例函数图象的增减性；

体会数形结合思想。

教学难点：

一次函数增减性的发现及应用。

教学方法：

温故（复习法），引导探索(讨论法)，变式应用（练习法）。

教学用具：

方格纸、电子白板（y=1/x，y=2/x，y=3/x,，y=4/x，y=-1/x，y=-2/x，y=-3/x,，y=-4/x的图象及动点演示）

教学过程：

一、        温故

1、你还记得一次函数y=kx+b(k≠0)的增减性吗？

当k>0时，y随x增大而增大；当k<0时，y随x增大而减小。

2、我们是怎样得到一次函数增减性的呢？

（1）通过观察动点的坐标变化直观得到：

当k>0时，..\几何画板实例\一次函数增减性1.gsp图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标也增加（纵坐标对应的数向上走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以y随x增大而增大；

当k<0时，..\几何画板实例\一次函数增减性2.gsp图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标在减小（纵坐标对应的数向下走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以y随x增大而减小。

（2）用手势从左往右划大致图像，形象说明：

当k>0时，图象从左往右呈上升趋势，所以y随x增大而增大；

当k<0时，图象从左往右呈下降趋势，所以y随x增大而减小。

3、我们已经学了哪些反比例函数图象和性质？

（1）反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是双曲线（不与坐标轴相交，不是圆），关于原点中心对称；

（2）当k>0时，图象分别位于第一、三象限，当k<0时，图象分别位于第二、四象限。

导入：反比例函数y=k/x(k≠0)的增减性是怎样的呢？

二、新知：

1、观察y=4/x的图象，在每个象限内，随着x值得增大，y值是如何变化的？你是怎么知道的？

（1）通过观察动点的坐标变化直观得到：

当k=4时，..\几何画板实例\反比例函数增减性1.gsp在第三象限，图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标在减小（纵坐标对应的数向下走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以在第一象限，y随x增大而减小。

在第一象限，图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标在减小（纵坐标对应的数向下走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以在第三象限，y随x增大而减小。

那么，我们能不能说：k=4时，y随x增大而减小呢？

不能，应该说，k=4时，在每个象限内，y随x增大而减小。

（2）用手势从左往右划大致图像，形象说明：

当k=4时，图象分别在第一、三象限。在第三象限内，图象从左往右呈下降趋势，在第一象限内，图象从左往右也呈下降趋势，所以在每个象限内，y随x增大而减小。

2、观察y=4/x的图象，在每个象限内，随着x值得增大，y值是如何变化的？你是怎么知道的？

（1）通过观察动点的坐标变化直观得到：

当k=-4时，..\几何画板实例\反比例函数增减性2.gsp在第二象限内，图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标也增加（纵坐标对应的数向上走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以在第二象限，y随x增大而增大；

在第四象限内，图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标也增加（纵坐标对应的数向上走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以在第四象限，y随x增大而增大。

那么，我们能不能说：k=-4时，y随x增大而增大呢？

不能，应该说，k=-4时，在每个象限内，y随x增大而增大。

（2）用手势从左往右划大致图像，形象说明：

当k=-4时，图象分别在第二、四象限。在第二象限内，图象从左往右呈上升趋势，在第一象限内，图象从左往右也呈上升趋势，所以在每个象限内，y随x增大而增大。

3、观察y=1/x，y=2/x，y=3/x,，y=4/x的增减性，y=-1/x，y=-2/x，y=-3/x,，y=-4/x的增减性，你有什么发现?

y=1/x，y=2/x，y=3/x,，y=4/x，在每个象限内，y随x增大而减小。

y=-1/x，y=-2/x，y=-3/x,，y=-4/x，在每个象限内，y随x增大而增大。

当k>0时，在每个象限内，y随x增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随x增大而增大。(用三种方法验证)

（1）通过观察动点的坐标变化直观得到：

当k>0时，..\几何画板实例\反比例函数增减性1.gsp在第三象限，图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标在减小（纵坐标对应的数向下走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以在第一象限，y随x增大而减小。

在第一象限，图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标在减小（纵坐标对应的数向下走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以在第三象限，y随x增大而减小。

那么，我们能不能说：k>0时，y随x增大而减小呢？

不能，应该说，k>0时，在每个象限内，y随x增大而减小。

当k<0时，..\几何画板实例\反比例函数增减性2.gsp在第二象限内，图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标也增加（纵坐标对应的数向上走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以在第二象限，y随x增大而增大；

在第四象限内，图像上的点从左往右移动时，横坐标增加（横坐标对应的数向右走），纵坐标也增加（纵坐标对应的数向上走），我们知道，横坐标是自变量x值，纵坐标是对应的因变量y值，所以在第四象限，y随x增大而增大。

那么，我们能不能说：k<0时，y随x增大而增大呢？

不能，应该说，k<0时，在每个象限内，y随x增大而增大。

（2）用手势从左往右划大致图像，形象说明：

当k>0时，图象分别在第一、三象限。在第三象限内，图象从左往右呈下降趋势，在第一象限内，图象从左往右也呈下降趋势，所以在每个象限内，y随x增大而减小；

当k<0时，图象分别在第二、四象限。在第二象限内，图象从左往右呈上升趋势，在第四象限内，图象从左往右也呈上升趋势，所以在每个象限内，y随x增大而增大。

4、小结：

反比例函数图象和性质：

（1）反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是双曲线（不与坐标轴相交，不是圆，关于原点中心对称）；

（2）当k>0时，图象分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大。

5、练习

（1）已知点（2，y₁）、（1，y₂）、（-1，y₃）、（-2，y₄）都在反比例函数y=1/x的图象上，比较y₁、y₂、y₃、y₄的大小。

方法1：分别计算得： y₁=1/2、y₂=1、y₃=-1、y₄=-1/2，所以y₂> y₁> y₄> y₃。

方法2：描点比高低。

方法3：利用增减性先在同象限比大小，再与不同象限点比高低或正负。

（2）已知点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）都在反比例函数y=1/x的图象上，且x₁< x₂，_，比较y₁、y₂的大小。

本题因为没有明确这两点是否在同一象限内，所以需要分类讨论。

当这两点在同一象限内时，根据“k>0时，在每个象限内y随x增大而减小”可知：y₁> y₂；

当这两点不在同一象限内时，y₁为负数，y₂为正数，所以y₁< y₂。

综上所述，当这两点在同一象限内时，y₁> y₂; 当这两点不在同一象限内时，y₁< y₂。

6、作业：

已知点（-2，y₁）、（-1，y₂）、（3，y₃）都在反比例函数y=k/x的图象上，比较y₁、y₂、y₃的大小。

因为题中没有说明k的正负，所以需要分类讨论。

当k为正数时，在每个象限内y随x增大而减小”可知：0>y₁> y₂，又y₃>0，所以y₃> y₁> y₂；

当k为负数时，在每个象限内y随x增大而增大”可知： y₁> y₂>0，又y₃<0，所以y₁> y₂> y₃。

综上所述，当k为正数时，y₃> y₁> y₂；当k为负数时，y₁> y₂> y₃。

课后反思：

    通过温故环节，呈现知识生长点，使生长点更清晰；呈现相关或同类知识，以便认知结构网络化；呈现先行组织者，引领学生进行思考。难点提前突破，水到渠成。及时小结，理出本节课的重点、要点、关键点。变式练习，加深理解，实现能力的提高。