设计思想：

孔子的“温故而知新”;

奥苏泊尔的“先行组织者”思想；

建构主义思想。

设计思路：

温故知新，做好铺垫；难点提前突破，水到渠成；变式练习、错例分析，加深理解；联系拓广，实现能力的提高。整体上，引导学生自我建构自己的知识结构。

教学重点：

反比例函数图象的形状位置及中心对称性；

体会数形结合思想；

体验个别到一般或具体到抽象的概括方法。

教学难点：

与一次函数图像相结合的应用。

教学方法：

温故（复习法），引导探索(讨论法)，变式应用（练习法）。

教学用具：

    方格纸、电子白板

教学过程：

一、        温故

1、关于原点中心对称的两个点的坐标特点是什么？

横纵坐标都互为相反数。

2、什么叫反比例函数？

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。其中自变量x不能为0.

3、函数图像是怎么得来的？

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横纵坐标，在直角坐标系中描出它对应的点，所有这些点所组成的图形叫做该函数的图像。

4、一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0）的图像及性质：

（1）一次函数的图像是一条直线，与y轴交点坐标为（0，b）；

当b=0时，即正比例函数的图像是一条经过原点的直线。

（2）当k>0时，y随x增大而增大，图像从左到右呈上升趋势（用上手势）。

当k<0时，y随x增大而减小，图像从左到右呈下降趋势（用上手势）。

二、        导入新课：

反比例函数的图像会是什么形状呢？会有哪些性质呢？

三、        新知：

1、在方格纸上作出反比例函数y=4/x的图像.

列表：

x	-8	-4	-3	-2	-1	-1/2	1/2	1	2	3	4	8
y=4/x	-1/2	-1	-4/3	-2	-4	-8	8	4	2	4/3	1	1/2

描点：

A（-8，-1/2）B（-4,-1）C（-3,-4/3）D（-2,-2）E（-1,-4）F（-1/2,-8）

F′（1/2, 8）E′（1, 4）D′（2, 2）C′（3,4/3）B′（4, 1）A′(8, 1/2)

连线：（依据点的变化趋势，用光滑曲线把所描的点连起来）

http://s10/small/4d756bbdte17845ec1049&690

 

 

2、议一议：

（1）反比例函数y=4/x的图像是什么形状？位于那些象限？

（双曲线。位于第一、三象限。）

（2）会与坐标轴相交吗？会成圆形吗？

不会与坐标轴相交，因为x不能为0，4/x也不会为0，即图像上点的横、纵坐标都不会为0，所以反比例函数的图像不会与坐标轴有公共点。

不会呈圆形，因为在0到无穷大的范围内，当自变量x无穷大时，对应的因变量y就无限接近于0，却不等于0，对应的点无限接近于x轴，却不与x轴相交；当自变量x无限接近于0（却不等于0）时，对应的因变量y就无穷大，，对应的点无限接近于y轴，却不与y轴相交。所以反比例函数的图像无限趋近于坐标轴，不会成圆形。

（3）所描具体的点有没有关于原点中心对称的？能确定两支曲线关于原点中心对称吗？

有，下列各组点的横纵坐标都互为相反数，每一对点都关于原点中心对称。

A（-8，-1/2）与A′(8,  1/2)；B（-4,-1）与B′（4, 1）；

C（-3,-4/3）与C′（3,4/3）；D（-2,-2）与D′（2, 2）；

E（-1,-4）与E′（1, 4）；F（-1/2,-8）与F′（1/2, 8）。

能确定两支曲线关于原点中心对称，因为图像上所有点都是成对出现的，若有点（a,4/a）,必有（-a,-4/a）,所以两支曲线关于原点中心对称。

（4）对于所描点（个数、坐标），你怎么看？

所描点应该越多图像就越精确，至少10个点，横坐标做好互为相反数。

（5）连线时，能用折线吗？

不能，只能用光滑曲线。

3、作出在方格纸上作出反比例函数y=-4/x的图像.

列表：

x	-8	-4	-3	-2	-1	-1/2	1/2	1	2	3	4	8
y=-4/x	1/2	1	4/3	2	4	8	-8	-4	-2	-4/3	-1	-1/2

描点：

A（-8，1/2）B（-4,1）C（-3,4/3）D（-2,2）E（-1,4）F（-1/2,8）

F′（1/2, -8）E′（1, -4）D′（2, -2）C′（3,-4/3）B′（4,- 1）A′(8, -1/2)

连线：（依据点的变化趋势，用光滑曲线把所描的点连起来）

 

4、议一议：

（1）反比例函数y=-4/x的图像是什么形状？位于那些象限？

（双曲线。位于第二、四象限。）

（2）会与坐标轴相交吗？会成圆形吗？

不会与坐标轴相交，因为x不能为0，-4/x也不会为0，即图像上点的横、纵坐标都不会为0，所以反比例函数的图像不会与坐标轴有公共点。

不会呈圆形，因为在0到无穷小的范围内，当自变量x无穷小时，对应的因变量y就无限接近于0，却不等于0，对应的点无限接近于x轴，却不与x轴相交；当自变量x无限接近于0（却不等于0）时，对应的因变量y就无穷小，对应的点无限接近于y轴，却不与y轴相交。所以反比例函数的图像无限趋近于坐标轴，不会成圆形。

（3）所描具体的点有没有关于原点中心对称的？能确定两支曲线关于原点中心对称吗？

有，下列各组点的横纵坐标都互为相反数，每一对点都关于原点中心对称。

A（-8，1/2）与A′(8,  -1/2)；B（-4,1）与B′（4, -1）；

C（-3,4/3）与C′（3, -4/3）；D（-2,2）与D′（2, -2）；

E（-1,4）与E′（1, - 4）；F（-1/2,8）与F′（1/2, -8）。

能确定两支曲线关于原点中心对称，因为图像上所有点都是成对出现的，若有点（a, -4/a）,必有（-a,4/a）,所以两支曲线关于原点中心对称。

（4）对于所描点（个数、坐标），你怎么看？

所描点应该越多图像就越精确，至少10个点，横坐标做好互为相反数。

（5）连线时，能用折线吗？

不能，只能用光滑曲线。

5、电脑绘制反比例函数y=3/x，y=2/x，y=1/x，y=-3/x，y=-2/x，y=-1/x的图像，并分析它们有什么共同点和不同点。

共同点：都是由两支曲线组成，且关于原点中心对称。

不同点：当k>0时，在第一、三象限；当k<0时，在第二、四象限。

6、课堂小结：

(1)反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图像是两支曲线（也称双曲线)。

(2)当k>0时，在第一、三象限；当k<0时，在第二、四象限。

(3)双曲线关于原点中心对称，不与坐标轴相交，不会呈圆形。

7、练习：

（1）下列函数图象分别位于那些象限？

Y=1/(2x)，y=0.3/x，y=10/x，y=-7/x

（2）下列图像，哪个是y=5/x的大致图像，哪个是y=-5/x的大致图像？

     http://s14/small/4d756bbdte1784c26516d&690
               （A）                             （B）

8、错例分析：

小明把反比例函数y=6/x的图像画成了下面的样子，对吗？为什么？

http://s5/small/4d756bbdte1aa9c0a7ae4&690

不对，因为反比例函数的图像不会与坐标轴相交，反比例函数y=6/x的图像只能在第一、三象限。

9、联系拓广：

下图中，哪个是y=kx+k，y=k/x在同一个坐标系中的大致图像？你是怎样分辨的？

 

 http://s4/small/4d756bbdt7cf26e6e77d3&690

             (A)                         (B)

http://s14/small/4d756bbdt7cf26f2e208d&690
                 (C)                                                                            (D)

    本题方法1：先假定反比例函数图像位置正确，推出另一个图像位置相符不相符，逐一排查即可。

    本题方法2：先假设k>0,确定函数图像位置，看选项中有没有相符的；再假设k<0,确定函数图像位置，看选项中有没有相符的即可。

10、如下图，直线y=(5/2)x与反比例函数y=k/x的图像交于A、B两点，点A的坐标为(2/5根号10,根号10),求点B的坐标。

http://s4/small/4d756bbdte1ab093ca453&690

课后记：

“关于原点中心对称的两个点的坐标特点，函数图像定义”是先行组织者。

“反比例函数定义，一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0）的图像及性质”是知识生长点。