墙上的影长等于什么？——自主实验数学课

墙上影长等于实物长。

课堂上要让学生动起来，才能有更好的学习效果，因为这样学生的思维才更活跃。学生通过动脑、动手积极主动地探究，不仅培养他们独立发现问题、解决问题的实践能力，而且也培养学生的合作意识。

课堂上要善于用语言和问题引导和激励学生进行大胆猜想和实验。今天上课，有这样一个题目：教学楼旁边有一棵树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹竿的影长是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一起算一下，树高为多少？

读题后学生的疑问自然浮现出来，“墙上的影子怎么办？”我没有直接说出答案，让学生自己想。有同学提出：“地面上的影长加上墙上的影长是否等于大树的实际影长？”朱晓林说：“不可能，咋看都不等。”我引导问题焦点：“那么，墙上的影长到底等于什么？”有同学说：“会不会等于该段影子的实物长？”听口气不敢确定。我说：“好，这位同学的猜想很有创意，哥德巴赫猜想就是这样诞生的。那么我们就搞个实验，来验证一下他这个猜想，‘墙上影长是否等于实物长’，下面同学们设计一下实验步骤。”有同学建议：“测量一下一木棒和它在墙上的影长是否相等即可。”于是同学们迅速推荐郭梦飞拿一根木棒，牛克迪、孔许强来测量、记录，于是一个课题小组成立了。经过测量，当木棒与墙不平行时，不等于墙上影长；当木棒与墙平行时，臂长和它在墙上的影长近似相等。所以，实验结论为墙上影长等于实物长。

实验数据还需要理论验证，这样才能以理服人。由于测量有误差，如果就此断言“墙上影长等于实物长”，说服力还不够。于是我说：“好，同学们下面我们再进行理论研究。”

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如上图所示，AB表示大树，AC表示光线，BC即为大树的影子。但是，如果此时点E处有一堵墙，如下图所示：

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    过点G作DG平行于AB交AB于点D，

那么，大树上AD部分的影子将会投放到哪里？

“墙上GE处。”

“AD等于GE吗？”

“等于”

“理由呢？”

“因为AD平行于GE，AG平行于DE，所以四边形ADEG是平行四边形，所以AD等于GE。”

“由此，我们可以确定墙上的影长等于实物的长。”

经过猜想、实验、理论验证之后，再进行计算，学生才能深刻理解本题的算理，也才能举一反三，触类旁通。

“非常好，那么本题应如何解决呢？”

方法一：

作图并证明：连接AE,过点G作GD平行于AE交AB于点D，则四边形ADEG是平行四边形，所以AD等于GE，所以BD的影子是BG。

列方程计算：“设大树的高为xm，由题意得：（x-1.2）/1=2.7/0.9 解得x=4.2 所以大树的高为4.2m。

方法二：

作图并说明：连接AE并延长AE，交BG延长线于点C，则若没有墙，AB的影子就是AC,墙上影子应投射到GC处。

所以GE/GC=杆长/杆影,AB/BC=杆长/杆影.

计算：1.2/GC=1/0.9  GC=1.O8米  BC=BG+GC=3.78米

AB/3.78=1/0.9  AB=4.2米

本节课，不仅让学生学会了这一个知识“墙上的影长等于实物的长”，更让学生经历了解决问题的过程与方法，解决其他问题的途径也是这样，先进行猜想和实验，但可能不精确或不够准确，再进行理论证明，以验证其正确性和普遍性。