谢丹阳宏观经济学网上课堂(3)第三讲：动态优化（离散时间）_邹恒甫

当T 取有限值时（即 Finite Horizon），(3.11) 推出http://l.wordpress.com/latex.php?latex=k_%7BT%2B1%7D%3D0&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" />, 即死之前吃光所有的蛋糕。当T 取无限值时（即当你长生不老），http://l.wordpress.com/latex.php?latex=k_%7BT%2B1%7D%3D0&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" />的自然推广似乎应当是 $\lim _{t\rightarrow \infty }k_{t+1}=0$ . 值得注意的是：虽然在吃蛋糕这个问题中，这个推广是对的，但http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clim+_%7Bt%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%5C%3Bk_%7Bt%2B1%7D%3D0&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" />并非永远是正确的优化必要条件。正确的必要条件是(3.11)的自然推广:

http://img.blog.163.com/photo/N_nc-v1JvTfH_SlkAOcb_g==/3697455294071401799.jpg（离散时间）" />

(3.12)便是所谓的Transversality Condition (TVC) under infinite horizon. http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clim+_%7Bt%5Crightarrow+%5Cinfty+%7D%5C%3Bk_%7Bt%2B1%7D%3D0&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 在经济增长的模型中可能就不成立，而 TVC 则是成立的。其经济含义我下面将有评论。

再者，（3.2）（3.3）可导出：

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%283.13%29%5C%3B+c_t%3D%5Cbeta+c_%7Bt-1%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" />, t=0, 1, 2, …, T

最后，利用(3.13)解 (3.10)同时注意到 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=k_0%3D1&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 和 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=k_%7BT%2B1%7D%3D0&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> :

http://img.blog.163.com/photo/N_nc-v1JvTfH_SlkAOcb_g==/3697455294071401799.jpg（离散时间）" /> t=0, 1, 2, …, T

[评论]

可能有同学注意到我在 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda_t&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 前乘上了 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbeta%5Et&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> . 这是合法的。乘的数越小，则http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda_t&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 越大而已。这里我们乘上了 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbeta%5Et&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 是为了使 FOCs 看上去更整齐。同时，http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Clambda_t&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 的经济含义也很清晰： current-value shadow price, current-value marginal utility. http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbeta%5Et+%5Clambda_t&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 被称为 present value shadow price.
这里， http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbeta&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 称作 discount factor. http://l.wordpress.com/latex.php?latex=0%3C%5Cbeta%3C1&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 说明下一期消费所带来的效用从这期来看需要打个折扣。
如果将 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=k_t&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 当作资本存量(capital stock), 将http://l.wordpress.com/latex.php?latex=c_t&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 当作消费 (consumption), 则我们上面分析的就是最简单的宏观经济模型。这里生产函数就是：http://l.wordpress.com/latex.php?latex=+f%28k%29%3D0&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" />. 资本积累方程就是：http://l.wordpress.com/latex.php?latex=k_%7Bt%2B1%7D%3Df%28k_t%29%2Bk_%7Bt%7D-c_%7Bt%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" />.
注意到 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbeta+%5Et%5Clambda+_t&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 是影子价格，那么TVC 的含义就是最优化要求资本存量的价值 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbeta+%5Et%5Clambda+_t+k_%7Bt%2B1%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 随着时间的推移趋向于零。若它趋向于某个正数，则说明储蓄过多。
其实吃蛋糕的问题有更简单的解法。我们在上面写限制条件时采用的是流量的形式。之所以采用这种形式是因为它便于推广到一般情形。更重要的原因是我想以这种方式引入TVC 的概念。限制条件的另一种写法是：

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=c_0+%2B+c_1%2B...%2Bc_T%5Cleq+1&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" />

这是以Present Value 的形式来写的。左边是 present value of life-time consumption, 右边是 present value of life-time resources. 有同学可能会问，既是present value, 为何不见interest rate? 答案是这里利率为零（资本边际产出为零：http://l.wordpress.com/latex.php?latex=f%27%28k%29%3D0&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> 同时折旧率也假设为零）。

[习题] 让http://l.wordpress.com/latex.php?latex=T&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" />成无穷大. 请使用TVC 及FOCs 解出http://l.wordpress.com/latex.php?latex=c_t&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" />, t=0, 1, 2, …, http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cinfty&bg=ffffff&fg=000000&s=0（离散时间）" /> .

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