12个小球，外观大小颜色完全相同，其中11个连质量也相同，只有一个质量不同，也不知道是比其它球重还是轻。现给你一个没有法码的天平，只给三次机会称，请你找出那个质量不同的小球，并且判断出它比其它11球是重还是轻。

说明:这里我为方便说明把小球编号为1~12号小球) 每一步都有一个结论,请记住,因为下一步的判断必须用.这里我把已经判断出质量相同的小球称为正常球,正常球是判断问题球是轻还是重的准绳.

第一次称:左边1234号小球,右边5678.

情况A:若平衡,说明1~8号球为正常球,问题球在9~12号之中.

则第二次称:左边123,右边9,10,11.

1.若平衡,12号球有问题,第三次再天平左1右12,就出来了,因为确认了12是问题球并且1是正常球,所以12号球天平托盘这边低就是比其它球重,高就是比其它球轻.(下面就不这么细说了)

2.若不平衡,假设123重9,10,11轻(天平左低右高) ,那么说明问题球在9,10,11之间并且肯定轻了,因为123为正常球.那么第三次再取左9右10,如果平衡,问题球就是11,并且轻了;如果不平衡,9和10谁轻谁是问题球,因为第二次已得出结论问题球比正常球轻.

若是9,10,11重,那么后面的称法一样,只不过哪边重问题球就在哪边.(同理的事情,下面这种类似情况就不说两次了)

要懂得熟能生巧,从上面这些我们回顾得出结论: 最后一次只能称出已知轻重的三个球,或利用正常球称出不知轻重的一个球,所以最后两次能称出已知轻重的问题球在其中的九个球(3对3余3),能解决不知轻重的确认问题球在其中的四个球(3对3余1,其中一边3为正常球).

情况B,第一次称之后不平衡的话,难度较大.假设天平左1234低/重,右5678高/轻.说明问题球就这8个之中,并且说明1234有一个重,或者5678有一球轻.还说明没称的9~12球是正常球.

第二次称:左1235,右4,9,10,11.

1.如果平衡,说明问题球在678之中并且只可能比其它球轻(根据是上面的结论),前面总结过,已知轻重的三球,再称一次得解.

2.如果不平衡,又有两种情况

情况一:若天平高低方向不变(还是左低右高),说明问题球比其它球重并且在123之中,因为情况B第一称的结论中,9,10,11正常球,4不可能轻,5不可能重,否则天平方向将变.同理, 已知轻重的三球123,再称一次得解.

情况二:天平方向改了,左1235轻右4,9,10,11重.很明显,1239,10,11全是正常球,问题球只可能是4或者5,前面说过, 4不可能轻,5不可能重,第三次再用正常球和4称,平衡就是5轻,不平衡一定是4重了.

解答完毕.这题真的太经典,它不需要什么专业知识,纯考逻辑分析能力,初步要能判断清楚称要4对4才有可能解题,还需要我们充分利用判断出的正常球帮助下一步判断,突破点在于取左边的球放入右边观察天平的变化来判断问题,思路应该还是从简入繁,从最后一次称能解决什么情况的多少个球开始入手.

现有此题进一步的讨论，有兴趣者可接着往下再看。

现有N个小球，同样只有一个有问题，同样没法码让你称四次就能把那小球找出且判断出是轻了还是重了，问：N最大为多少？

N最大为39个。分三堆，一堆13个。

情况A:13对13称第一次平衡：

说明称的26(用14到39号表示)个正常，取剩下13(用1到13号)个中的1到5号放左，6到9号和一正常球14号放右成5对5称第二次:

1：若平衡，问题球在10到13之中，根据前面的经验,确认问题球在其中的四个球再称二次可得解(取其3与3正常球称)。

2：左重右轻,左12345对右6789,14(左轻右重同理)，取右轻的678隔离，拿123放入右边，放三正常球到左边，形成左4,5,15,16,17右1239,14进行第三次称。

若第三次平衡：问题球在隔离的678之中,已知轻的三球,再一次得解.

若第三次不平衡：

情况一，依然左重右轻，45有一个重了或9号轻了,因为此时天平上除了459其它全是正常球.第四次再拿4号对5号对称一次即得解(谁重谁问题,若平衡则问题球为9号且轻)。

情况二，天平改向,左轻右重，问题球在123中且重,再称一次得解。

情况B:13对13不平衡:

说明1~13号球为正常球,为方便说明,我把14号至39号小球分为四类两组,左边两类为9C+4D,右边两类为9E+4F;字母前面的数字代表此类球的个数.9C就是指C类球共有9个.

假设天平状态为左重右轻(反之同理),那么就是9C和4D中一球重,或者,9E和4F中一球轻;第二次称的话,隔离9E,把9C从左移到右边,取1至9号正常球补入左边,第二次就是左边9正常球+4D:右边9C+4F

若平衡,问题球肯定在9E之中并且轻了,已知轻重的9E两次机会可得解(3对3,问题球必在轻的一边,再称一次得解).

若不平衡,情况一:天平方向改变,也就是说变成了左轻右重,那必是9C有一球重,再称两次得解.

情况二:依然左重右轻,说明4D有一球重或者4F有一球轻,这情况和12小球的第一次称不平衡的解法一模一样,再来两次必然得解,我就不复述了.(请参考12小球上面说的1235对4+正常球余678)

有了12小球的基础,类似情况会懂,这题难就难在N的最大值很容易误以为是12*3=36,错以为三次机会N最大值就是12了.这个难点其实就是考逻辑的严谨性,要明白最后称两次的机会并不是解决八个未知球,而是九个,当然第一次称就一定能找到正常球,这样最后两次解决九个球当然是借一个正常球形成5对5.这其中延伸12小球明白的一个基本功是,最后一次称可以解决已知轻重的三个球,并非是已知全轻或全重,如题中的45有一重或9号轻,称一次就能得解.所以最后两次能解决的未知球是九个而不是八个,由于如果9对9平衡的话,两次机会解决不知问题球在哪边最多只能是4对4,所以最后三次能解决的就不是12而是13并且只能是9+4=13,明白这个就知道N最大一定是13*3=39. 

12个小球这题目,当年是和誓友陈陈在网吧瞧见的好像,当时我俩苦想许久,从网吧出来走在大马路上还在想,两人共同思考有想法就说出来验证,被自己否决过好几次,这题我俩最终是在马路上讨论得解的,前后耗时20分钟左右,想出来时兴奋不已.仅以此博客纪念和誓友陈陈共同成长无比幸福的岁月.