数学中的致命错误——反证法

 

                                                 秋屏  撰文

 

 

 

   “原命题与其逆否命题同真或同假”和“原命题与其否定真假相反”，是某些人认为正确的两个论断，因而对于任何命题的真假若不容易判断时，就通过该命题逆否命题的真假或该命题否定的真假从而进行判断，于是就产生了作为间接证明的反证法。这种反证法有一种证明方式，即从结论的反面假设（反设）出发，通过推导出的结果和题设相矛盾从而证明原命题是真命题，实质上就是利用了“原命题与其逆否命题同真或同假”这一论断的一个方面的（同真方面）；这种反证法还有一种证明方式，即先构造出原命题的否定，再推导出这一否定是假命题或真命题，从而证明原命题是真命题或假命题，实质上就是利用了“原命题与其否定真假相反” 这一论断的。然而这两个论断事实上并不正确，因而这种反证法就不正确。同时采取赋值的方式按真值表去判定命题真假时，还会出现真命题表述事理因实质上违反客观事理而是错误的情况，以及假命题表述事理因实质上反而符合客观事理而是正确的情况，所以这种反证法证得的真假命题对于数学证明的意义而言也是没有某些作用的。笔者这两个对于数学和逻辑学界颇具挑战性的观点，从以下几个实例足以证实：

 

 

   一．原命题与其逆否命题不同真或不同假

 

   1.原命题:

   a)任何判断语句中的3，若3都不是加数，则一个3+一个3≠6。 b)任何判断语句中的3，若3都不参与运算，则一个3+一个3≠6。（假命题。）

     逆否命题：

   a)任何判断语句中的3 ，若一个3+一个3＝6，则3有的是加数。 b)任何判断语句中的3，若一个3+一个3＝6，则3有的参与运算。（真命题。）

 

   2.原命题:

   任何判断语句中的“2+3”，若“2+3”的和都尚未算出，则“2+3”﹥5或“2+3”﹤5。（假命题。）

     逆否命题：

   任何判断语句中的“2+3”，若“2+3”＝5，则“2+3”的和有的既已算出。（真命题。）

 

   3.原命题:

   任意实数a，若a都不是加数，则2+一个a≠5。（假命题。）

     逆否命题：

   任意实数a，若2+一个a＝5，则a有的是加数。（真命题。）

 

   4.原命题:

   任何判断语句中的3，若一个3×一个3+一个3＝12，则3有的不是乘数。（真命题。）

     逆否命题：

   任何判断语句中的3，若3都是乘数，则一个3×一个3+一个3≠12。（假命题。）

 

   5.原命题:

   对于任何名叫李兵的人，若李兵的健康状况不确定，则李兵有病。（假命题。）

     逆否命题：

   对于任何名叫李兵的人，若李兵无病，则李兵的健康状况确定。（真命题。）

 

   6.原命题:

　若那块布的颜色是黑的，则那块布的颜色明确。（真命题。）

　　 逆否命题：

　若那块布的颜色不明确，则那块布的颜色不是黑的。（假命题。）

　　

   7.原命题:

   设函数y=2x+4的定义域为实数集，若函数值不确定，则自变量大于6或小于6。（假命题——这是因为：函数值和自变量的取值是对应的，由于函数值不确定，所以自变量对应函数值的取值和取值范围都不能确定。）

     逆否命题：

   设函数y=2x+4的定义域为实数集，若自变量等于6，则函数值确定。（真命题。）

  

　　8.原命题:

　　若那个发光物是UFO，则那个发光物不是飞机。（假命题。）

　　 逆否命题：

　　若那个发光物是飞机，则那个发光物不是UFO。（真命题。）

 

   9.原命题:

   若12÷0﹥3，则12÷0有值。（真命题——这是因为：当前件12÷0﹥3的真值假时，不论后件的真值真假，整个命题都是真命题。）    

     逆否命题：

   若12÷0无值，则12÷0≦3。（假命题——这是因为：既然12÷0无值，不等式12÷0≦3就不能成立，故整个命题是假命题。）

      

 

   二．原命题与其否定不真假相反

 

   1.原命题:

   a)任何判断语句中的3，若3都不是加数，则一个3+一个3≠6。 b)任何判断语句中的3，若3都不参与运算，则一个3+一个3≠6。（假命题。）

      其否定：

   a)存在判断语句中的3，3都不是加数，并且一个3+一个3＝6。 b)存在判断语句中的3，3都不参与运算，并且一个3+一个3＝6。（假命题。）

 

   2.原命题:

   任何判断语句中的“2+3”，若“2+3”的和都尚未算出，则“2+3”﹥5或“2+3”﹤5。（假命题。）

     其否定：

   存在判断语句中的“2+3”，“2+3”的和都尚未算出，并且“2+3”＝5。（假命题。）

 

   3.原命题:

   任意实数a，若a都不是加数，则2+一个a≠5。（假命题。）

    其否定：

   存在实数a，a都不是加数，并且2+一个a＝5。（假命题。）

 

    4.原命题:

   任何判断语句中的3，若3都是乘数，则一个3×一个3+一个3≠12。（假命题。）

     其否定：

   存在判断语句中的3，3都是乘数，并且一个3×一个3+一个3＝12。（假命题。）

 

   5.原命题:

   对于任何名叫李兵的人，若李兵的健康状况不确定，则李兵有病。（假命题。）

     其否定：

   存在名叫李兵的人，李兵的健康状况不确定，并且李兵无病。（假命题。）

 

   6.原命题:

   若那块布的颜色不明确，则那块布的颜色不是黑的。（假命题。）

     其否定：

   那块布的颜色不明确，并且那块布的颜色是黑的。（假命题。）

 

   7.原命题:

   设函数y=2x+4的定义域为实数集，若函数值不确定，则自变量大于6或小于6。（假命题。）

     其否定：

   设函数y=2x+4的定义域为实数集，函数值不确定，并且自变量等于6。（假命题。）

 

   8.原命题:

　 若那个发光物是UFO，则那个发光物不是飞机。（假命题。）

　　 其否定：

　 那个发光物是UFO，并且那个发光物是飞机。（假命题。）

 

   9.原命题:

   3+2i﹥5。（假命题——这是因为：虚数3+2i本无大小，更无从与实数比较大小，故不等式3+2i﹥5就不能成立，因而整个命题是假命题。）

      其否定：

   3+2i≦5。（假命题——这是因为：虚数3+2i本无大小，更无从与实数比较大小，故不等式3+2i≦5就不能成立，因而整个命题是假命题。）

 

   

    三．真命题表述事理实质上违反客观事理而是错误的

 

   1.a属于实数集，若a是任意实数，则a不是虚数。（虽采用赋值的方式可判定为真命题，但因为没有哪个具体实数是任意实数，故前件表述事理错误。同时，后件表述事理以及其正误，也不依赖于前件的表述，故违反假言命题的定义——假言命题是陈述一种事物情况是另一种事物情况的条件的命题。再者，以错误的因而构成的因果关系的表达在哲学上也是谬误的。因而整个命题是错误的。）

 

   2.对于任意自然数a，若|a|﹤0，则a是实数。（虽是真命题，但前件表述事理违反绝对值的定义。同时，后件表述事理以及其正误，也不依赖于前件的表述，故违反假言命题的定义。再者，以错误的因而构成的因果关系的表达在哲学上也是谬误的。因而整个命题是错误的。）

  

  3.平面三角形的内角和等于360°或180°。（虽是真命题，但表述事理“等于360°或180°”包含三种情况——有可能等于360°，也有可能等于180°，还有可能既等于360°又等于180°，显然此表述思想内容不具确定性，并且一、三这两种情况违反数学方面的事理而不可能存在，因而整个命题是错误的。）

 

   4.若实数的绝对值小于零，则冰是固体。（虽是真命题，但前件表述事理违反绝对值的定义。同时，后件表述事理以及其正误，也不依赖于前件的表述，故违反假言命题的定义。再者，以错误的因而构成的因果关系的表达在哲学上也是谬误的。因而整个命题是错误的。）

 

 

   四．假命题表述事理实质上反而符合客观事理而是正确的

 

   对于任意实数a，在a+4≧6中，a则是客体变元。（虽采用赋值的方式可判定为假命题，而实质上符合客体变元这个概念在实例中的具体表现方式，符合客体变元是表示任意客体或泛指某类客体的标识符并存在取值这一定义的数理逻辑事理，因而是正确的。）

 

 

 

   从以上事实可见，“原命题与其逆否命题同真或同假” 和“原命题与其否定真假相反”，这两个论断是不正确的，因而这种反证法必然对于某些命题谬误而不可信。同时还存在通过这种反证法证得的真命题表述事理因实质上违反客观事理而是错误的情况，以及证得的假命题表述事理因实质上反而符合客观事理而是正确的情况，这也就对于数学证明的意义而言失去了某些作用。如果自然科学的某一现象（包括规律等）可以单单用假命题去完整地表述的话，那么划分真假命题还有何实际意义？如果“真假”不与“对错”对应，且没有任何联系的话，那么划分真假命题同样毫无实际意义。

   这存在的事实无疑对于逻辑学界是一不得不反思的警醒，同时对于数学界更是一当头棒喝：运用这种反证法证明任意命题，必然是个致命错误！

 

 

 

 

                                 2009年6月23日星期二

                                 回历1430年6月29日        撰于抱真轩之南窗下

                                 农历己丑年闰五月初一日

  

 

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