真分数都可以写成几个不同的单位分数之和

常兴禄

1/2=1/3+1/6，2/7=1/4+1/28，3/13=1/5+1/35+1/455.本文将论证，任意一个真分数都可以写成几个不同的单位分数之和。

我们从古埃及的莱因德纸草书中提到的分面包问题入手，将m个面包平均分给n个人。

①当m≥n时，m÷n=a……m₀，先每人分得a个面包，再来分多出来的m₀个面包。用②解决。

②当m＜n时，

(1)分m个面包，

存在大于1 的正整数k₁，使得(k₁-1)m＜n≤k₁m.

m个面包，每个都平均分成k₁份，m个面包变成k₁m块面包，每块大小为1/k₁.

每人得到1块(即1/k₁)，剩下(k₁m-n)块。

令m₁= k₁m-n

∵(k₁-1)m＜n

∴k₁m-m＜n

∴k₁m＜n+m

∴k₁m-n＜m

即m＞m₁.

(2)分m₁块面包，

存在大于1 的正整数k₂，使得(k₂-1)m₁＜n≤k₂m₁.

m₁块面包，每块都平均分成k₂份，m₁块面包变成k₂m₁块面包，每块大小为1/(k₁k₂).

每人得到1块(即1/(k₁k₂))，剩下(k₂m₁-n)块。

令m₂= k₂m₁-n

∵(k₂-1)m₁＜n

∴k₂m₁-m₁＜n

∴k₂m₁＜n+m₁

∴k₂m₁-n＜m₁

即m₁＞m₂.

(3)按照上述步骤，依次得到m、m₁、m₂……

∵m＞m₁＞m₂……

∴存在m_i=0，即面包在m_i-1的步骤中已经分完。

每人得到i块面包，大小依次为1/k₁、1/(k₁k₂)……1/∏k_i.

∵k₁、k₂……k_i＞1

∴1/k₁、1/(k₁k₂)……1/∏k_i各不相同。

推论：真分数都可以写成几个不同的单位分数之和。

证明：对于真分数m/n，想m个面包平均分给n个人，每人得到m/n个面包。

又根据上文的推导可知，每人得到i块面包，大小依次为1/k₁、1/(k₁k₂)……1/∏k_i。

所以，m/n=1/k₁+1/(k₁k₂)+……+1/∏k_i，且1/k₁、1/(k₁k₂)……1/∏k_i各不相同。