幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则

教学目标

1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．

2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．

3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．

教学重点与难点

重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导．

教学过程设计

师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？

生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）²⁰=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.072²⁰倍．

师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．

师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？

师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程

1.072^x=4．

我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．

师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是a^b=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作

log_aN=b，

其中a叫做底数，N叫做真数，式子log_aN叫做对数式．

师：请同学谈谈对对数这个定义的认识．

生：对数式log_aN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法．

生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．

（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．）

师：他们说得都非常好．实际上a^b=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开

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记作log_aN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为log_aN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．

师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯）

练习1  把下列指数式写成对数形式：

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练习2  把下列对数形式写成指数形式：

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练习3  求下列各式的值：

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（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）

因为2²=4，所以以2为底4的对数等于2．

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因为5³=125，所以以5为底125的对数等于3．

（注意纠正学生的错误读法和写法．）