全国2005年7月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.复数的幅角主值为（　　　）

A.                              B.

C.                              D.

2.若z³=1且Imz>0，则z一定是（　　　）

A.1                                B.

C.                          D.

3.下列点集不是区域的是（　　　）

A.{z|Rez>0}                                                    B.{z|Rez<0}

C.{z||z|≤|i|}                                                    D.{z||z|>1}

4.下列方程不表示圆周的是（　　　）

A.z=3e^it-1(0≤t<2π)                                        B.z=re^it(r>0,0≤t<2π)

C.z=sint+icost(0≤t<2π)                                  D.z-=i

5.设f (z)=i(u-iv)，则使f(z)在区域D内解析的C.-R.条件是（　　　）

A.在D内                           B.在D内

C.在D内                        D.在D内

6.若f(z)=e^z，则下列结论不成立的是（　　　）

A.f(z)在z平面上解析                                      B.f(z)为非周期函数

C. f(z)在z平面上无零点                                 D. f(z)在z平面上无界

7.（　　　）

A.                                                          B.

C.0                                                                 D.1

8. （　　　）

A.                                                   B.

C.0                                                          D.1

9.设C是从2到0的上半圆周：|z-1|=1，则（　　　）

A.4                                                          B.2

C.-2                                                         D.-4

10.设幂级数的收敛半径R>0，则此幂级数的和函数（　　　）

A.在|z|<R内不连续                                  B.在|z|<R 内不解析

C.在|z|<R 内不能逐项求导                       D.在|z|<R内可逐项积分

11.在|z|<1内解析，在（-1，1）内具有展开式的函数只能是（　　　）

A.                                                   B.

C.                                                   D.

12.设，则Res[f(z)，0]=（　　　）

A.0                                                          B.

C.                                                        D.

13.若（　　　）

A.g(a)                                                      B.

C.                                                D.0

14.映射处的伸缩率为（　　　）

A.40                                                               B.

C.                                                    D.

15.变换（其中α为实常数）把上半平面Imz>0保角映射成（　　　）

A.右半平面Reω>0                                  B.单位圆外|ω|>1

C.上半平面Imω>0                                  D.单位圆内|ω|<1

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

16.方程z³+1=0的所有复数根为___________.

17.复数的指数形式为___________.

18.平面点集E={（x,y）|x²+y²-2y≤0}（其中z=x+iy）用复数模的不等式可表示成___________.

19.若___________.

20.若f(z)=z+，则Res[z²f²(z),0]= ___________.

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

21.设复数

22.讨论的可导性与解析性.

23.计算复积分.

24.设.

25.求函数在z=1处的泰勒展开式.

26.将内展开为罗朗级数.

27.求函数的所有孤立奇点，并指出类型（对于极点要指出阶数）.

28.用留数计算实积分

四、综合题（下列3个小题，29小题必做，30、31小题中只选做一题。每小题10分，共20分）

29.设f (z)在区域D内解析，且Ref(z)=Imf(z)，证明f (z)在D内必为常数.

30.设D为z平面上的带形区域0<Rez<π，试求以下保角映射：

（1）ω₁=f₁(z)把D映射成ω₁平面上的带形区域0<Imω_1<π；

（2）ω₂=f₂(ω₁)把带形区域0<Imω₁<π映射成ω₂平面的上半平面；

（3）ω=f₃(ω₂)把上半平面0<argω₂<π映射成|ω|<2；

（4）综合以上三步，求保角映射ω=f(z)把D映射成圆域|ω|<2.

31.利用拉氏变换解常微分方程的初值问题：