再论七角幻星

    n条等长直线相交组成封闭式线段的星形图中，它的角和交点填上数，使直线上n个数之和都相等，这样的数字星图称n阶角幻星。是七只角的称n阶七角幻星。

    n条等长直线相交组成封闭式线段的星形图中，最少是4个数，称四阶。四阶角幻星的角上之数是外圈，交点上之数是内圈。最小的四阶角幻星是5角幻星，1～10个数不存在，最小的幻和是24，已经发现26个。幻和是26的7个、幻和是28的10个、幻和是30的9个、幻和是32的4个、幻和是34的9个、幻和是36的6个、幻和是38的1个。

    四阶六角幻星1～12的有80个，已为大家公认了。四阶七角幻星1～14有多少个？尚待研究。怎样分类？要分类，就要定一个标准。

    四阶七角幻星共14个数，二个数的互补和为15，则可以从互补和的位置分类，共得8类。哪一角放置顶角？习惯上是最小数之角，七角幻星是奇数，角和它对应的交点连成的直线我们称它为中轴，若中轴上二数是互补数，将中轴上的角数为顶角。无中轴线的则桉统一的连线归类。

    连元数列的幻角星，都有互补的二个幻角星，为了达到“事半功倍”的效果，今选顶角数为较小数的8类为准，其中主要的三类如下：

        图一                     图二                     图三

笫一类（甲虫）20个，笫二类（蝶）20个，笫三类16个。其他五类16个计8对如下：

第一类到第三类共56个，计28对。1号～28号实例可查《幻图集锦》。（该书还是草稿）

    凡是在七角星的图案上填数，使n个数之和都相等，都是七角幻星。除以上外圈内圈二层的图例外，今举其他七角幻星如下：

       图一                  图二                  图三

                        三层七角幻星

    从图一中可以看到内层（第一圈），可填7个数。中层（第二圈），也填7个数。外层（第三圈），填7个数。若只填内层（图二）或中层（图三），则它们仍旧是四价七角幻星，它的幻和仍是30。至于它有多少种不同的排列，请读者研究。

    从图一中可以看到7条直线上可填6个数，这个幻星就是6阶七角幻星。举例如下：

                       5阶七角幻星设计图

     1～29共29个数，1～7是外圈8～14是笫二圈（不是二重数），15～28是内圈，29是中心（是7重数）。可以考虑从七角反幻星着手。下图是从11～24的14个连续数的七角反幻星。但不是1～29的连续数，它的幻和是75。

                      花瓣状的七角幻星

    花瓣状的七角幻星1～15的15个数组成，它的幻和在30与34之间。举例如下：

                       3阶奇角幻星

    在七角星的图纸上（用虚线构肋），7条相交于一点的线段，填上1～15个数，使3个数之和都是幻和。这些图，既不是封闭线段的幻星，也不是花辫形幻星，都是3阶奇角（3、5、7、…）幻星。

主要参考文献：

1、日本平山谛阿部乐方编《方阵の研究》

2、郭大焱幻方作品集

3、许仲义编《幻图集锦》