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六维数学思维方法的主要内容

(2009-08-28 20:35:35)
标签:

教育

分类: 六维思维方法

科学思维方法、数学思想方法与六维数学思维方法的主要内容:

一、科学思维方法
1、演绎与归纳:演绎是由一般性的命题推出特殊性命题的推理方法。演绎推理的主要形式是由大前题、小前题推出结论的三段论推理,这是一种必然性推理。
归纳推理是由个别的特殊性命题推出一般性命题的推理方法,归纳推理依其概括的对象是否完全而分为完全归纳和不完全归纳。完全归纳法是根据某类事物的全体对象作出概括的推理方法,不完全归纳是根据部分对象具有某种属性就作出一般性的概括。
2、分析与综合:分析方法是把整体分解为部分,把复杂事物分解为简单要素,并分别加以研究的一种思维方法。在论证某些命题时,可以运用分析方法“由果索因”,即从求证结论出发,逐步倒推,逐步分析矛盾,直到已知的根据,这种证法常能取得很好的效果.
综合方法是把对象的各个部分,各个方面和各种因素联结起来考虑的一种思维方法,或者说是一种整体性的思维方法。在论证某个命题时,可以利用综合方法“由因导果”,即从已知条件出发,把各有关方面综合起来考虑问题,以得到求证的结论。
3、抽象与概括:抽象是从复杂的事物中,单纯地抽取某种特性加以认识的思维方法,它是使感性认识跃到理性认识的重要手段。  概括是从个别推到一般的思维方法。
4、比较与分类:比较,是确定对象之间差异点和共同点的逻辑方法。分类,从通常意义来说就是按照一定的标准把研究对象分成几个部分或几种情况。
5、联想与猜想:联想是由一个事物想到与其相关联的另一事物的思维过程,是一种由此及彼的思维方法,联想的关键在于认识事物间的联系。
猜想是直觉思维的结果。
二、数学思想
1、数形结合:“数”指数或式,“形”指图形或图象。数是形的抽象和概括,形是数的几何表现,在一定条件下互相转化。数借助于图形的性质,可以使许多抽象的概念和数量关系直观化、形象化、简单化;形的问题经数量处理,可以使较难的问题归结为较易处理的问题。数形结合思想,就是通过“数”与“形”之间的对应、转化来解决数学问题的思想。
2、分类思想:从通常意义来说,分类就是按照一定的标准把研究对象分成几个部分或几种情况。
从集合意义来说,分类定义是:
设符合一定条件的对象的集合A,按对象的某一性质P,将A无遗漏无重复地分成若干个真子集,使这些真子集的并集恰好等于A,并且这些真子集中任何两个真子集都不相交,则称这些真子集是A的一个分类。
3、化归思想:化归,是指把有待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类比较容易解决或已经解决的问题中去,最终获得原来问题答案的一种方法。化归的方向是由未知到已知、由难到易、由繁到简。
4、函数思想与方程思想:用函数观点来处理数学问题叫函数思想,用方程观点来处理数学问题叫做方程思想。
5、特殊化与一般化:如果一个一般性命题一时难于入手,不妨先考察它的一些特殊情况,通过它解开疑团,理出线索,从而发现解决一般性命题的途径,这叫做“特殊化思想”。
由于特殊问题常常比较简单,并且特殊问题的解决孕育着一般问题的解决,因此,特殊化是一种常用的解题思想和探索解题途径的重要方法。  如果有一些需解的特殊性命题一时不易解决,不妨把它一般化,如果一般化命题能解决,那么需解的特殊性命题也随之解决,这叫做“一般化思想”。
三、数学方法
1、换元法(变量替换法,设辅助元法):它的基本思想是用新的变量(元)代换原来的变量(元),即用单一的字母表示一个代数式。从而使一些数学问题化难为易,化繁为简,化未知为已知。
2、配方法:用于分解因式、根式化简、解方程、证恒等式、证不等式、求最值等。
3、待定系数法:已知所求问题的类型时用,求函数解析式、解方程、求曲线方程、把分式化成部分分式、化简圆锥曲线方程等。
4、反证法
5、数学归纳法

  六维数学思维方法的主要内容:

 1、对应思想方法:对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法:假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维,掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体,从而丰富解题思路。

3、比较思想方法:比较思想是数学中常见的思想方法之一,也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中,教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法:用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容,这就是符号思想。如数学中各种数量关系,量的变化及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。

5、类比思想方法:类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。

6、转化思想方法:转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法,而其本身的大小是不变的。7、分类思想方法:分类思想方法不是数学独有的方法,数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类,若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分,也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果,从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性,数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

8、集合思想方法:集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段,利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。

9、数形结合思想方法:数和形是数学研究的两个主要对象,数离不开形,形离不开数,一方面抽象的数学概念,复杂的数量关系,借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

10、统计思想方法:学数学中的统计图表是一些基本的统计方法,求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。

11、极限思想方法:事物是从量变到质变的,极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时,“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路,在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态,这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

12、代换思想方法:它是方程解法的重要原理,解题时可将某个条件用别的条件进行代换。

13、可逆思想方法:它是逻辑思维中的基本思想,当顺向思维难于解答时,可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法,有时可以借线段图逆推。

14、化归思维方法:

把有可能解决的或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类以便解决可较易解决的问题,以求得解决,这就是“化归”。而数学知识联系紧密,新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题,对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。化归的方向应该是化隐为显、化繁为简、化难为易、化未知为已知。

15、变中抓不变的思想方法:

在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系,抓不变的量为突破口,往往问了就迎刃而解。

16、数学模型思想方法:

所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象,从它特定的生活原型出发,充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程,得到简化和假设,它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界,也是学生高数学素养所追求的目标。

17、整体思想方法:

对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手,整体把握化零为整,往往不失为一种更便捷更省时的方法

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