一、二次函数概念及图像特征

⒈二次函数概念：形如y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数，那么，y叫x的二次函数。

⒉图像特征：

y=ax²+bx+c

  =a（x+ ）²+

它是一条以直线x=- 为对称轴，以（- ， ）为顶点的抛物线。

二、抛物线y=ax²+bx+c与系数a、b、c的关系：

⒈系数a

⑴、a决定抛物线开口方向，a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。

⑵、｜a︱决定抛物线开口大小，｜a︱相同，抛物线开口大小相同；

       ｜a︱越大，抛物线开口越小。

⒉ a、b决定抛物线对称轴的位置

a、b同号 x=- ＜0 对称轴在y轴的左侧

a、b异号 x=- ＞0 对称轴在y轴的右侧

总结四字口诀：对称轴同左异右。

b=0 x=- =0 对称轴是y轴。

⒊c决定抛物线与y轴的交点位置

c＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上。交点坐标（0，c）。     

c=0，抛物线过原点，（0,0）。

c＜0，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上。交点坐标（0，c）。               

三、b² -4ac决定抛物线与x轴的交点个数

b²-4ac＞0时，ax²+bx+c=0有两个不相等的实数解，抛物线与x有两个交点。

b²-4ac=0时，ax²+bx+c=0有两个相等的实数解，抛物线与x轴只有一个交点。

b²-4ac＜0时，ax²+bx+c=0无实数解，抛物线 ⁼0，与x轴无两个交点。

四、抛物线的特殊位置与系数a、b、c的关系

⒈顶点在x轴，有两种理解：第一种，顶点纵坐标为0，既顶点坐标(- ,O),对应解析式: y=a（x-h）²

第二种，抛物线与x轴只有一个交点，则b²-4ac=0。

⒉顶点在y轴，顶点横坐标为0，既- =0,；顶点坐标(O， )；

既b=0，对应解析式y=ax²+c

⒊顶点在原点，顶点坐标（0，0），对应解析式y=ax²

五、抛物线与x轴交点坐标：点在x轴，点的纵坐标为0，即（x，0），则ax²+bx+c=0。

抛物线与y轴交点坐标：点在y轴，点的横坐标为0，即（0，c），

六、抛物线在x轴截得的线段AB的长：

抛物线与x轴有两个交点，设两个交点的坐标分别为A（x_1,0），B(x₂,O)，x_1,2=    

AB=｜x₁- x₂︱

或AB=｜x₁- x₂︱=｜ - ︱=

｜ + ︱=

七、增减性、

⒈a＞0，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，当x=- 时  ，y有最小值，y= ；当X＞- ,y随x的增大而增大；当X＜- ,y随x的增大而减小。

⒉a＜0，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，当x=- 时  ，y有最大值，y= ；当X＞- ,y随x的增大而减小；当X＜- ,y随x的增大而增大。

八、抛物线的三种解析式

⒈一般式、y=ax²+bx+c （a≠0）

⒉顶点式、y=a（x-h）²+k （a≠0）

⒊两根式、y=a（x- x₁）(x- x₂) （a≠0）

九、抛物线的平移规律：

y=ax²在y轴上下平移，上加下减 y=ax²+c

y=ax²在x轴左右平移，左加右减 y= a（x-h）²

y=ax²向上（下）向左(右）平移，可以得到y=a（x-h）²+k

抛物线y=ax²+bx+c（ a≠0），可由抛物线y=ax²平移得到，由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况，因此有关抛物线的平移问题，只需利用二次函数的顶点式y=a（x-h）²+k来讨论。