如今，“概率”一词在我们的生活中随处可见，被人们使用得越来越广泛和频繁。概率可以被粗糙地定义为事件发生的频率，即发生次数与总次数的比值。更准确地说，是总次数趋于无限时，这个比值趋近的极限。

       虽然概率的定义不难懂，好像人人都会用，但你可能不知道，概率计算的结果经常违背我们的直觉，概率论中有许多难以解释、似是而非的悖论。不能完全相信直觉！我们的大脑有它的误区和盲点，就像开汽车的驾驶员视觉中有“盲点”一样，需要几面镜子来帮助克服，我们的思维过程中也有盲点，需要计算和思考来帮助澄清。概率论是一个经常出现与直觉相悖的奇怪结论的领域，连数学家也是稍有不慎便会错得一塌糊涂。现在，我们就来看看经典概率中的一个谬误。

       先看一个例子：

   “某城市有两种颜色的出租车：蓝和绿（市场比率15:85）。一辆出租车夜间肇事后逃逸，但还好当时有一位目击证人，这位目击者认定肇事的出租车是蓝色的。但是，他“目击的可信度”如何呢？公安人员经过在相同环境下对该目击者进行“蓝绿”测试而得到：80%的情况下识别正确，20%的情况不正确。也许有读者立刻就得出了结论：肇事之车是蓝色的几率应该是80%吧？”

       如果你认为是，那你就犯了以下所谓的“基本比率谬误”的错误，因为你没有考虑在这个城市中“蓝绿”车的基本比例。

基本比率谬误（Base Rate Fallacy）

谈到基本比率谬误，我们最好是先从概率论中著名的贝叶斯定理说起。托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes ，1701年–1761年）是英国统计学家，曾经是个牧师。贝叶斯定理是他对概率论和统计学作出的最大贡献，是当今人工智能中常用的机器学习之基础框架，它的思想之深刻远出一般人所能认知，也许贝叶斯自己生前对此也认识不足。因为如此重要的成果，他生前却并未发表，是他死后的1763年，才由朋友发表的。本篇将对贝叶斯定理稍作介绍，我们在本系列的后几篇，将讨论贝叶斯学派以及贝叶斯理论在人工智能中的应用。

粗略地说，贝叶斯定理涉及到两个随机变量A和B的相互影响，如果用一句话来概括，这个定理说的是：利用B带来的新信息，应如何修改B不存在时A的“先验概率”P(A)，从而得到B存在时的“条件概率”P(A|B)，或称后验概率，如果写成公式便是：

http://image.sciencenet.cn/album/201704/01/060702lnlt9lt9t1nt9le1.jpg贝叶斯公式 谈谈概率论中的“基本比率谬误”" TITLE="借 贝叶斯公式 谈谈概率论中的“基本比率谬误”" />

这儿“先验后验”的定义是一种“约定俗成”，是相对的。比如说也可以将A、B反过来叙述，即如何从B的“先验概率”P(B)，得到B的“条件概率”P(B|A)，见图中虚线所指。

不要害怕公式，通过上述例子，我们就能慢慢理解它。

贝叶斯定理是18世纪的产物，200来年用得好好的，不想在20世纪70年代遇到了挑战，该挑战来自于卡尼曼和特维尔斯基（Tversky）提出的“基础比率谬误”（Base-Rate Fallacy）。

丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman，1934年－）是以色列裔美国心理学家，2002年诺贝尔经济学奖得主。基础概率谬误并不是否定贝叶斯定理，而是探讨一个使人困惑的问题：为什么人的直觉经常与贝叶斯公式计算的结果相违背？如同刚才的例子所示，人们在使用直觉的时候经常会忽略基础概率。卡尼曼等在他的文章《思考，快与慢》中举了一个出租车的例子来启发人们思考这个影响人们“决策”的原因。我们不想在这儿深谈基础概率谬误对“决策理论”的意义，只是借用此例来加深对贝叶斯公式的理解（再看一遍文初的那个例子）：

某城市有两种颜色的出租车：蓝和绿（市场比率15:85）。一辆出租车夜间肇事后逃逸，但还好当时有一位目击证人，这位目击者认定肇事的出租车是蓝色的。但是，他“目击的可信度”如何呢？公安人员经过在相同环境下对该目击者进行“蓝绿”测试而得到：80%的情况下识别正确，20%的情况不正确。也许有读者立刻就得出了结论：肇事之车是蓝色的几率应该是80%吧？

那么，肇事之车是蓝色的（条件）几率到底应该是多少呢？贝叶斯公式能给出正确的答案。首先我们必须考虑蓝绿出租车的基本比例（15: 85）。也就是说，在没有目击证人的情况下，肇事之车是蓝色的几率只有15%，这是“A=肇事车为蓝色”的先验概率P(A)= 15%。现在，有了一位目击者，便改变了事件A出现的概率。目击者看到车是“蓝”色的。不过，他的目击能力也要打折扣，只有80%的准确率，即也是一个随机事件（记为B）。我们的问题是要求出在有该目击证人“看到蓝车”的条件下肇事车“真正是蓝色”的概率，即条件概率P(A|B)。后者应该大于先验概率15%，因为目击者看到“蓝车”。如何修正先验概率？为此需要计算P(B|A)和P(B)。

因为A=车为蓝色、B=目击蓝色，所以P(B|A)是在“车为蓝色”的条件下“目击蓝色”的概率，即P(B|A)＝80％。最后还要算先验概率P(B)，它的计算麻烦一点。P(B)指的是目击证人看到一辆车为蓝色的概率，等于两种情况的概率相加：一种是车为蓝，辨认也正确；另一种是车为绿，错看成蓝。所以：

P(B) = 15%×80% + 85%×20% = 29%（这个利用了“全概率公式”）

从贝叶斯公式：

http://image.sciencenet.cn/album/201704/01/060703x086uc5vvre00ier.jpg贝叶斯公式 谈谈概率论中的“基本比率谬误”" TITLE="借 贝叶斯公式 谈谈概率论中的“基本比率谬误”" />

可以算出在有目击证人情况下肇事车辆是蓝色的几率=41%，同时也可求得肇事车辆是绿车的概率为59%。被修正后的“肇事车辆为蓝色”的条件概率41%大于先验概率15%很多，但是仍然小于肇事车可能为绿的概率0.59。

怎么样，这个结果让人大跌眼镜了吧？！

至于怎么解决这个交通肇事问题，那就必须还要有其他证据的提供才行。

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注：本文基于张天蓉科学网博客《概率论悖论-趣谈概率统计之2》改写而来。

链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-1042909.html 

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