概率统计教学中，二维随机向量函数主要包括“和函数”、“商函数”以及“极大、极小两个极值函数”的概率密度函数的求解。当然偶尔也会出现“差函数”和“积函数”概率密度的求解。更有甚者，还会出现较之和、差函数更具一般性的线性函数（比如aξ
+bη）的概率密度的求解。由于无论是分布函数还是概率密度函数的求解，大都要涉及到分段函数，特别是要注意到定积分的上下限的具体取值，所以，此类二维随机向量函数的分布函数、密度函数函数的求解，往往会引起初学者的不适，总感觉hin难一次就给出完美的解答。是的，这是绝大多数初学者不得不经历的必然规律，唯有多看、多思考、多练、多总结，才能达成最终目标。
求解二维随机向量各种函数的概率密度，大致就是两种方法：1、概率密度公式法；2、由(分布函数)F求p法。
下面来谈谈两种方法各自的特点：
所谓“概率密度公式法”，只用到一重积分的计算，故而其计算相对简单一些。但其公式的获得，可以说，也还是利用到了分布函数，只不过它暂时忽略了两个随机变量的联合概率密度函数的具体表达式，进而简化了二重积分的计算。当然，公式法的代价也很明显，使用者必须熟悉常见的和、差、积、商、以及两个极值等六类函数表现不一的概率密度计算公式。
而所谓“由F求p法”，则是完整的二重积分转化为二次积分计算的过程，它的难点在于两组积分上下限的精确确定；还得特别留意分布函数的“累加性”。当然，它无需我们去记那六类函数的概率密度公式，而是一种以不变应万变的通用方法（比如还能求 aξ +bη 的概率密度题）。
值得大书特书的是，无论哪一种方法，都最好是先画出联合密度函数取值非零的区域P，以及各种情形下积分区域G与前述区域P的图像（的交集），唯有如此，才有可能在确定积分上下限时避免产生疏漏。
当然，如果两个随机变量ξ 与 η 相互独立、服从同类型（参数未必完全相同）的分布，而又恰好具有“分布可加性”，比如二项分布（ p 必须相同）、泊松分布（ λ可以不同）、正态分布（期望μ、均方差σ均可以不同），以及卡方分布χ2 （ n 可以不同）等，那就没有必要墨守成规，而应该与时俱进地结合分布可加性，尽可能地简化计算。
下面给出一道二维随机向量“差函数”的两种不同解法；并在最后附上了一般教材上只给个结论的关于“差函数”、“积函数”的概率密度计算公式的推导过程。
注：上式中的b若为0，则可以利用随机变量函数的单调性计算公式来轻松处理。
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(2017-05-23 11:06:02)