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(2016-09-29 21:12:23)
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分类： 线性代数 |
（对称）双线性函数和二次型之间的对应关系
在线性空间中引入度量性质，如三维几何空间中向量的长度和夹角可由向量的点乘确定，可以将点乘看作定义在三维几何空间中的两个向量的函数，即
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点乘具有对称性和双线性。双线性是指当固定一个变元时，点乘对另一个变元具有线性性质。
因此，应当在线性空间中研究类似的二元函数，并基于这种二元函数在线性空间中引入度量性质。
对数域K上的线性空间V，如果V中任意向量a都按某个给定法则f对应于K内唯一确定的数，记作f(a)，且满足如下条件：
(1)
对V中任意向量a,b，有
(2)
对V中任意向量a和K中任意数k，有
则称f为V中一个线性函数。 如果V中任意一对有序向量(a,b)都按某个法则f对应于K内唯一确定的数，记作f(a,b)，且
(1) 对任意k1,k2属于K，a1,a2,b属于V，有
(2) 对任意l1,l2属于K，a,b1,b2属于V，有
则称f(a,b)是V上的一个双线性函数。可以看出令其中一个变量保持不变，则f(a,b)是另一个变量的线性函数。
具体到矩阵，取定V的一组基 ，设
则按定义有：
说明一个双线性函数由其在一组基处的函数值唯一确定。直接给出结论，V上的每个双线性函数都对应于一个n阶方阵，即
可以证明V上全体双线性函数组成的集合与n阶方阵组成的集合一一对应。则双线性函数可表作
已知线性变换在不同基下的矩阵相似，而一个双线性函数在不同基下的矩阵合同。并且，双线性函数的秩是对应的矩阵的秩，从而有满秩双线性函数的概念。
合同是指给定数域K上两个n阶方阵A,B，如果存在K上一个可逆的n阶方阵T，使得B=T'AT，则称B与A在K内合同。而可以证明合同的充要条件是：A,B是K上n维线性空间V中一个双线性函数在两组基下的矩阵。
矩阵合同是一个等价关系，同样可以构成等价类，即合同类。自然地会想到从合同类中挑选出一个最简单的矩阵，最好是对角阵作为该合同类的代表。即，对每个双线性函数，设法在V内找到一组基，使该双线性函数在该基下的矩阵具有最简单的形式。
首先研究一种特殊的双线性函数，对于V中任意两个向量，如果有
若已知对称双线性函数，则其二次型函数唯一决定。反之，二次型函数也唯一决定对称双线性函数。
对称双线性函数基本定理：对于V内的一个对称双线性函数，必存在一组基，使其在该基下的矩阵成对角形(证明略)。
基本定理的推论：对于数域K上的一个n阶方阵，则存在K上的一个可逆方阵T，使T'AT=D为对角形。
问题得解。
二次型是二次型函数在给定基下的解析表达式，具体定义为：以数域K上的元素作系数的n个变量的二次齐次函数：
可以证明二次型与n阶对称矩阵一一对应。总结一下，以下对象之间存在等价关系：
n元二次型
n阶对称矩阵、
对称双线性函数
二次型函数
二次型基本问题是从每个等价类中挑选出一个最简单的二次型作为该等价类的代表。这里，选择一种称为标准性的二次型，其形式如
给定数域K上一个二次型，则存在K上的一个可逆方阵T，使在线性变换替换X=TZ下此二次型变为标准形。于是有如下三个等价结论，
(1)
对称双线性函数可对角化；
(2)
对称n阶方阵合同于一对角矩阵；
(3)
二次型可经过线性变换替换化为标准形。
1.
研究双线性函数和二次型的动机
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2. 双线性函数
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(ka)=kf(a)
f(k1a1+k2a2,b)=k1f(a1,b)+k2f(a2,b)
f(a,l1b1+l2b2)=l1f(a,b1)+l2f(a,b2)
可表作2.
双线性函数在不同基下的矩阵
则称其为对称双线性函数。
称上式为二次型函数在给定基下的解析表达式。
2. 二次型
的二次齐次函数：称为数域K上的一个二次型，其系数矩阵是数域K上的n阶对称矩阵，称为此二次型的矩阵，且二次型可以表示为矩阵乘积形式：f=X'AX。
根据研究便利可以在四种对象之间自由地转换。
其矩阵D为对角形。
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