在特征值和特征向量这个知识点中，经常会用到性质“实对称矩阵A中属于不同特征值的特征向量必正交。”那么，这个性质的逆命题是否成立呢？亦即“跟某个特征值λ1 对应的特征向量 ξ 正交的每一个向量，即方程组ξ′ x = 0的非零解向量（ξ′ 表示向量 ξ 的转置），是否都是实对称矩阵A的其他特征值对应的特征向量？”

      请看下面这道题目，及其求解过程：

（上接那5张图片）

问题1：为什么若3阶对称矩阵A的特征值有一个单根λ1，一个二重根λ2=λ3的话，则成立“和单根λ1对应特征向量（α1）正交的任意向量都是二重根λ2对应的特征向量。”？也即满足方程组（α1）′x = 0的任何一个非零解都能成为λ2的特征向量？

答：那是因为，实对称阵A的特征值λ2的几何重数为2，即λ2线性无关的特征向量恰有两个，不妨记为α2，α3，那么α2，α3一定满足方程组（α1）′x = 0，即α2，α3能由（α1）′x = 0的基础解系ξ2，ξ3线性表示. 亦即存在可逆矩阵K，使成立[α2，α3] = [ξ2，ξ3] K，于是[ ξ2，ξ3] = [α2，α3] K^(-1)，这说明α2，α3与ξ2，ξ3等价，故而方程组（α1）′x = 0的任何一个非零解都能成为λ2的特征向量。

      问题2：“本题中，既然α2不是A的特征向量，那为什么以α3作为β2，开始正交化的第一步，然后结合不是A的特征向量的α2构造出的β3，却又能成为A的对应于第三个特征值5的特征向量呢？”

 答：那是因为，这个刚刚求出的β3，它一方面既跟对应于特征值2的特征向量ε1正交；另一方面，它又跟对应于特征值-4的特征向量β2正交，而这恰恰就是A的第三个特征值5的（全体）特征向量要满足的性质。利用“问题1”的类似证明，即可知道，β3就一定是特征值5对应的一个特征向量。进而，这样算出来的Q，当然满足Q′AQ=Λ=diag[2,-4,5].

     法二：按部就班地解出A的另外两个特征值 λ2=-4， λ3=5；然后分别解两个方程组（A-λI）x=0，求得对应于 λ2=-4，λ3=5的特征向量；再单位化，得到 ε2，ε3. 记矩阵Q =[ε1,ε2，ε3]，则Q即为所求。

        结论：对3阶实对称矩阵A，若它有一个单特征值（根）、一个二重根，且知道单根对应的特征向量α1，那尽可放心使用方程组（α1）′ x = 0基础解系的求解来作为二重根对应的特征向量；但若A的三个特征值均为单根，又只知道某一个单根的特征向量α1，那么最好不要通过方程组（α1）′ x = 0来求解另外两个特征值对应的特征向量，而是踏踏实实地用（A-λI）x=0来求解吧！

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